Ableitungen

Auf dieser Seite findest Du die wichtigsten Ableitungsregeln der Mathematik. Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung des Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt an. Ableitungen werden für eine Vielzahl von Anwendungen der Mathematik benötigt. Zum Beispiel, um das Maximum oder Minimum einer Funktion zu errechnen. 

Grundlegende Ableitungsregeln

Ableitung einer VariablenAbleitung einer Variablen
Ableitung einer Variablen mit FaktorAbleitung einer Variablen mit Faktor
Ableitung einer QuadratfunktionAbleitung einer Quadratfunktion
Ableitung eines BruchesAbleitung eines Bruches
Ableitung einer WurzelAbleitung einer Wurzel
Allgemeine Ableitungsregel für PotenzfunktionenAllgemeine Ableitungsregel für Potenzfunktionen

Spezielle Ableitungsregeln

Ableitung von e (Eulersche Zahl)Ableitung von e (Eulersche Zahl)
Ableitung einer ExponentialfunktionAbleitung einer Exponentialfunktion
Ableitung des LogarithmusAbleitung des Logarithmus
Ableitung des SinusAbleitung des Sinus
Ableitung des CosinusAbleitung des Cosinus
Ableitung des TangensAbleitung des Tangens

Ableitungsregeln für verknüpfte Funktionen

SummenregelSummenregel
ProduktregelProduktregel
QuotientenregelQuotientenregel
KettenregelKettenregel

Wozu benötigt man Ableitungen?

Ableitungen geben die Steigung des Graphen einer Funktion an einem Punkt x an. Mit Ableitungen lässt sich also leicht ermitteln, ob und wie stark der Graph steigt oder fällt. Das hat mehrere Vorteile. Wenn beispielsweise ein Wert von der Zeit t abhängt, kann man mit Ableitungen berechnen, wie schnell er sich zu einem bestimmten Zeitpunkt ändert. Außerdem kann man mit Ableitungen von Funktionen die Maxima oder Minima der Funktionen berechnen. Dort, wo die erste Ableitung null ist, befindet sich in jedem Fall ein Extrempunkt. Wenn die zweite Ableitung negativ ist, handelt es sich um ein Maximum, wenn sie aber positiv ist, handelt es sich um ein Minimum. Natürlich gibt es noch viel mehr Fälle in denen man Ableitungen für Mathe braucht.

Es ist sinnvoll, wenn Schüler regelmäßig die wichtigsten Ableitungen üben. Natürlich können sie auch jedesmal in einer Ableitungen Tabelle nachschauen. Damit lernen sie sie aber nicht wirklich, sondern müssen immer eine Formelsammlung dabei haben, wenn sie mit ihnen rechnen wollen. Das ist für Klausuren und Klassenarbeiten noch vertretbar, aber gerade im Studium oder im Berufsalltag kann es sein, dass sie schnell einmal eine Formel durchrechnen müsse, ohne eine Formelsammlung Mathe zur Hand zu haben. Es ist daher immer sinnvoll wenn Schülern selbst Ableitungen bilden können. Das ist sogar noch sinnvoller, als für jede Funktion die jeweilige Ableitung auswendig zu lernen.

Am besten üben Schüler, indem sie immer wieder für Ableitungen Übungsaufgaben durchrechnen. So werden sie mit ihnen vertraut und lernen, wie sie sie nutzen müssen. Schließlich gibt es in der fortschritlichen Mathematik kaum etwas so wichtiges wie Ableitungen.