Differenzenquotient

Mit dem Differenzenquotient berechnet man die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Abschnitt. Seine Bedeutung wird anschaulich klar, wenn man sich vorstellt, dass man zwei Punkte auf dem Graphen einer Funktion markiert und zwischen ihnen eine Gerade zeichnet. Die Steigung der Geraden entspricht dann der Steigung der Funktion vom ersten zum zweiten Punkt. Den Wert der Steigung erhält man über den Differenzenquotienten.

Beispielgraph zum Differenzenquotient

Formal ist die Steigung einer Funktion f vom Punkt (a,f(a)) zu einem zweiten Punkt (b,f(b)) definiert, als der Quotient der Differenz der beiden Funktionswerte und der Differenz der beiden Variablen. Daher auch der Name Differenzen-Quotient. Die Formel für den Differenzenquotienten lautet also:

Differenzenquotient

 

Wenn wir zu einer gegebenen Funktion f und zwei Variablen und b  die Funktion g  der Geraden berechnen wollen, die die beiden Punkte (a,f(a))  und (b,f(b))  verbindet, können wir wieder den Differenzquotienten nutzen und kommen so auf die Geradengleichung:

Geradengleichung zum Differenzenquotient

Eine solche Gerade, die zwei Punkte auf dem Graphen einer Funktion verbindet und den Graphen der Funktion an jedem der beiden Punkte schneidet, heißt Sekante.

 

 

Beispiele für den Differenzenquotient

Angenommen, wir haben die eine Funktion f mit dieser Funktionsgleichung:

Funktionsbeispiel zum Differenzenquotienten

Für diese Funktion, wollen wir die Steigung zwischen den beiden Punkten (2, f(2)) und (5, f(5)) berechnen. Einsetzen der Werte in den Differenzenquotienten ergibt:

Die Gleichung für die zugehörige Sekante lautet:

Mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnete Sekantengleichung

Es handelt sich dabei also um eine Gerade mit der Steigung 7 und dem y-Achsenabschnitt -7.