Kehrwertregel für Ableitungen

Die Kehrwertregel besagt, wie der Kehrwert einer Funktion abgeleitet wird. Sie lautet:

Die Kehrwertregel

In Worten: Die Ableitungs des Kehrwerts einer Funktion, ist der negative Quotient aus der Ableitung der Funktion und dem Quadrat der Funktion.

Anwendung und Beispiele für die Kehrwerregel

Als erstes Beispiel für die Kehrwertregel betrachten wir die Ableitung von:

Kehrwert einer Funktion

Dafür bilden wir zunächst einmal die Ableitung des Nenners:

Ableitung des Nenners

Jetzt setzen wir in die Kehrwertregel ein und erhalten:

Anwendung der Kehrwertregel

Als nächstes schauen wir uns noch den Kehrwert von Cosinus an:

Ableitung des Kehrwerts von Cosinus

Herleitung der Kehrwertregel

Die Kehrwertregel lässt sich aus der Kettenregel herleiten. Hierfür betrachten wir die abzuleitende Funktion als Verknüpfung von zwei anderen Funktionen:

Kehrwert als Verknüpfung zwei Funktionen

Mit der Funktion h als:

Die Kehrwertfunktion

Gemäß der Kettenregel folgt daraus:

Herleitung der Kehrwertregel