Kettenregel - Erklärung und Anwendung

Die Kettenregel für Ableitungen besagt, wie verknüpfte Funktionen abgeleitet werden. Sie lautet:

Die Kettenregel

Verknüpfte Funktionen werden also abgeleitet, indem man zuerst die Ableitung der äußeren Funktion bildet, in diese Ableitung die innere Funktion unverändert einsetzt und anschließend das Ergebnis noch einmal mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert. In Kurzform kann man sich die Kettenregel merken als: "Innere Ableitung mal äußere Ableitung".

Anwendungen und Beispiele für die Kettenregel

Sehen wir uns als ersten Beispiel diese Funktion an:

Ausgangsfunktion - Beispiel 1

In dieser Funktion sind zwei Funktionen verknüpft:

Verknüpfte Funktionen - Beispiel 1

Dabei ist f die äußere und g die innere Funktion. Um die Ableitung von h zu bilden, leiten wir zunächst f und g einzeln ab:

Ableitungen - Beispiel 1

Jetzt bilden wir die Ableitung von h, indem wir g in f' einsetzen und das Ergebnis mit g' multiplizieren:

Anwendung der Kettenregel - Beispiel 1

Als nächstes sehen wir uns diese Funktion an:

Ausgangsfunktion - Beispiel 2

Wieder liegen hier zwei verknüpfte Funktionen vor. Es sind:

Verknüpfte Funktionen - Beispiel 2

Und wir bilden zunächst wieder die Ableitungen dieser beiden Funktionen:

Ableitungen - Beispiel 2

Einsetzen in die Kettenregel liefert hier:

Anwendung der Kettenregel - Beispiel 2

Mehrfache Anwendung der Kettenregel

Wenn mehr als nur zwei Funktionen verkettet werden, ist es notwenig, die Kettenregel mehrfach anzuwenden. Wenn wir uns allerdings an das oben in den Beispielen beschriebene Vorgehen halte, ist das kein Problem. Betrachten wir als Beispiel den Ausdruck:

Komposition mehrerer Funktionen

Wie sehen uns zunächst an, aus welchen Funktionen dieser Ausdruck zusammengesetzt ist:

Mehrfach verknüpfte Funktionen - einzeln

Insgesamt gilt also: 

Mehrfach verknüpfte Funktion - Schema

Um diesen Ausdruck abzuleiten, bilden wir als erstes die Ableitungen der drei verknüpften Funktionen:

Ableitungen mehrfach verknüpfter Funktionen

Wir leiten den Ausdruck jetzt "von außen nach innen" ab. Mit der Kettenregel gilt:

Mehrfache Anwendung der Kettenregel - Schema

In diese Gleichung setzen wir die verknüpften Funktionen und ihre Ableitungen ein:

Mehrfache Anwendung der Kettenregel - Beispiel