Produktregel

Die Produktregel besagt, wie die Ableitung von einem Produkt zweier Funktionen gebildet wird. Sie lautet:

Produktregel

In Worten lautet die Produktregel: "Das Produkt zweier Funktionen wird abgeleitet, indem man das Produkt aus der Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten Funktion zum Produkt der ersten Funktion mit der Ableitung der zweiten Funktion addiert".

Beispiele für die Produktregel

Am anschaulichsten ist die Produktregel, wenn wir sie uns an einigen Beispielen ansehen. Beginnen wir mit:

x^2 \cdot sin(x)

In diesem Beispiel lauten die beiden Funktionen, die miteinander multipliziert werden:

f(x) = x^2 \text{ und } g(x) = \sin(x)

Wir bilden jeweils die Ableitung:

f'(x) = 2x, g'(x) = \cos(x)

Mit der Produktregel folgt:

\begin{aligned} 	\left[ x^2 \cdot \sin(x)\right] &= \left(x^2\right)'\sin(x) + x^2\left(\sin'(x)\right) \\ 		&= 2x\sin(x) + x^2\cos(x) \end{aligned}

Als nächstes sehen wir uns diese Funktion an:

\left(x + \tan(x)\right)\cdot 4x^3

Zunächst leiten wir beide Faktoren wieder jeweils einzeln ab:

\begin{aligned} 	\left(x + \tan(x)\right)' &= 1 + \frac{1}{\cos^2(x)} \\ 	\left(4x^3\right)' &= 12x^2 \end{aligned}

Mit Hilfe der Produktregel bilden wir jetzt die Ableitung des Produktes:

\left[\left(x + \tan(x)\right)\cdot 4x^3 \right]' = \left(1 + \frac{1}{\cos^2(x)}\right)4x^3 + \left(x + \tan(x)\right)12x^2

Mehrfache Anwendung der Produktregel

Wir können die Produktregel natürlich auch mehrfach anwenden, wenn wir eine Funktion ableiten sollen, die das Produkt von drei oder mehr Funktionen ist. Sehen wir uns beispielsweise diese Funktion an:

Produkt dreier Funktionen

Im ersten Schritt setzen wir Klammen, um zu bestimmen, in welcher Reihenfolge wir die einzelnen Faktoren ableiten:

Produkt dreier Funktionen geklammert

Den ersten Faktor können wir direkt ableiten. Der zweite Faktor - das Produkt in der Klammer - leiten wir wieder über die Produktregel ab:

Einfache Anwendung der Produktregel

Jetzt erhalten wir insgesamt:

Mehrfachanwendung der Produktregel

Die Produktregel wenden wir jeweils in den ersten beiden Gleichungen an. In den weiteren Gleichungen vereinfachen wir die Formel nur noch.