Kategorie: Formeln

Brüche addieren und subtrahieren

Brüche werden addiert, indem man sie zuerst auf denselben Nenner bringt und anschließend ihre Zähler addiert. Die allgemeine Formel zur Addition von Brüchen, in der beide Schritte zusammengefasst sind, lautet:

Addition von Brüchen mit unterschiedlichem Nenner

Brüche werden subtrahiert, indem man sie ebenfalls zuerst auf denselben Nenner bringt und anschließend ihre Zähler subtrahiert. Die allgemeine Formeln zur Subtraktion von Brüchen, in der wieder beide Schritte zusammengefasst sind, lautet:

Formel: Brüche subtrahieren

Wie werden die Nenner bei der Addition von Brüchen behandelt?

Zu den wichtigsten Regeln beim Bruchrechnen gehört, dass nur gleichnamige Brüche, d.h. Brüche mit dem gleichen Nenner, addiert oder subtrahiert werden dürfen. Die Nicht-Beachtung dieser Regel ist ein häufiger Fehler. Jeder Schüler sollte sie daher im Schlaf beherschen.

Damit zwei Brüche addiert oder subtrahiert werden dürfen, muss man sie zunächst auf denselben Nenner bringen. Falls der Nenner des einen Bruches ein Vielfaches des Nenners des anderen Bruchs ist, lassen sich die beiden Brüche sehr einfach auf denselben Nenner bringen. Manchmal genügt es sogar den Summanden mit dem größeren Nenner zu kürzen. In der Regel wird man aber den Summanden mit dem kleineren Nenner auf den größeren Nenner erweitern.

Falls beide Summanden unterschiedliche Nenner haben, ist es schwieriger sie nennergleich zu machen. In diesem Fall gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder sucht man zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner (kgV) und erweitert beide Brüche auf diesen Nenner, oder man erweitert jeden der beiden Brüche mit dem Nenner des jeweils anderen Bruchs (wie oben in den Formeln zum Subtrahieren und Addieren von Brüchen dargestellt). Falls man sich für die zweite Möglichkeit entscheidet, sollte man die Summe, bzw. die Differenz der beiden Brüche im Anschluss aber noch einmal kürzen.

Beispiele für die Addition und Subtraktion von Brüchen

Die folgende Grafik verdeutlicht, wie Brüche addiert werden:

Brüche addieren: Grafisches Beispiel

In den oberen beiden Zeilen werden die ursprünglichen Brüche (2/5 und 1/3) dargestellt. In der dritten Zeile sieht man das Ergebnis der Addition als Strecke. Man kann hier aber noch nicht die Darstellung dieser Summe als Bruch ablesen. Hierfür ist es notwendig die beiden Brüche zunächst nennergleich zu machen (4. Zeile) und anschließend die Zähler zu addieren (5. Zeile).

Zwei weitere Beispiele für die Addition von Brüchen sind:

Beispiele zur Addition von Brüchen

Und zwei Beispiele für die Subtraktion von Brüchen sind:

Beispiele für die Subtraktion von Brüchen

 

Binomische Formeln

Die binomischen Formeln gehören zum grundlegenden Rüstzeug für Schüler aller Schularten. Mit Hilfe der binomischen Formeln wird die Potenz der Summe zweier Zahlen (häufig als a und b bezeichnet) gebildet. Die Rechnung mit Potenzen wird auf diese Weise erheblich vereinfacht. Anstatt nämlich zwei große Zahlen multiplizieren zu müssen, brauchen die Schüler nach Anwendung der binomischen Formeln nur noch zwei kleinere Zahlen miteinander zu multiplizieren und deren Summe zu bilden.

In der Mathematik werden drei binomische Formeln unterschieden:

  • Die erste binomische Formel beschreibt den Fall, dass zwei Zahlen a und b addiert und die Summe potenziert wird.
  • Die zweite binomische Formel wird in dem Fall angewendet, dass b von a subtrahiert wird.
  • Die dritte binomische Formel wird schließlich angewendet, wenn wir zwei unterschiedliche Faktoren haben, nämlich einen, in dem a und b addiert, und einen, in dem b von a subtrahiert wird.

Zu den wichtigen Punkten, die ein Schüler im Zusammenhang mit den binomische Formeln lernen muss, gehört es zu erkennen, welche der drei binomischen Formeln in einer konkreten Aufgabe angewandt werden muss.

Binomische Formeln

Formel Bedeutung
Erste binomische Formel Erste binomische Formel
Zweite binomische Formel Zweite binomische Formel
Dritte binomische Formel Dritte binomische Formel

Grafische Herleitung

Schaubild zur grafischen Herleitung der ersten binomischen Formel

Die obige Grafik zeigt, wie sich die erste binomische Formel grafisch herleiten lässt. Sie zeigt ein Quadrat, dessen Kantenlänge a + b beträgt. Seine Fläche lässt sich daher mit (a + b)2 berechnen. Dieses Quadrat setzt sich wiederum aus verschiedenen Flächen zusammen. Die grün umrandete Fläche entspricht mit a2 dem ersten Summanden der binomischen Formel, die blau umrandete mit b2 dem letzten Summanden. Die beiden rot umrandeten Rechtecke, deren Fläche jeweils a * b beträgt, entsprechen zusammen dem mittleren Summanden 2ab. Anhand dieser einprägsamen Grafik lässt sich sofort erkennen, dass die Fläche des großen Quatdrats (a + b)2 der gemeinsamen Fläche der beiden kleinen Quadrate und der beiden Rechtecke (a2 + 2ab + b2) entspricht. Hierin finden wir also die erste binomische Formel wieder:

Erste binomische Formel mit Farben

Herleitung der 3 binomischen Formeln

Die binomischen Formeln werden hergeleitet, in dem zuerst die Potenz hoch zwei aufgelöst wird in die Multiplikation zweier Summen (bzw. zwei Differenzen oder einer Summe mit einer Differenz). Anschließend wird zuerst die Summe in der vorderen Klammer ausmultipliziert. Jeder der beiden Summanden wird mit der zweiten Klammer multipliziert. Anschließend wird auch die zweite Klammer ausmultipliziert. Wir haben nun vier Summanden mit unterschiedlichen Vorzeichen. Zwei der Summanden sind die Quadrate von a und b. Die beiden anderen Summanden jeweils das Produkt aus a und b. Die drei binomischen Formeln unterscheiden sich in den Vorzeichen ihrer Summanden. Durch Zusammenfassung der Summanden werden die binomischen Formeln in ihre endgültige Form aus drei, bzw. zwei Summanden gebracht.

Herleitung der 1. binomischen Formel

Herleitung der ersten binomischen Formel

Herleitung der 2. binomischen Formel

Herleitung der zweiten binomischen Formel

Herleitung der 3. binomischen Formel

Herleitung der dritten binomischen Formel