p-q-Formel - Herleitung und Erklärung

Mit p-q-Formel lassen sich quadratische Gleichungen der Form:

Allgemeine Form einer quadratischen Gleichung

leicht lösen. Die p-q-Formel besagt, dass es maximal zwei Lösungen für solche Gleichungen gibt, und zwar:

Die p-q-Formel in kompakter Form

Die Kombination aus Plus und Minus vor der Wurzel besagt dabei, dass die Wurzel für die eine Lösung addiert und für die andere Lösung subtrahiert werden muss. Ausgeschrieben lauten die beiden Lösungen der p-q-Formel also:

Ausführliche Form der p-q-Formel

Selbstverständlich gibt es auch für die p-q-Formel keine Ausnahme von der Regel, dass unter der Wurzel keine negative Zahl stehen darf (zumindest in der Menge der reelen Zahlen, mit denen Schüler üblicherweise rechnen). Wenn also unter der Wurzel ein negativer Wert entsteht, liefert die p-q-Formel kein Ergebnis. Die quadratische Gleichung hat in diesem Fall keine Lösung.

Beispiele für die p-q-Formel

In unserem ersten Beispiel sehen wir uns diese Formel an:

x^2 + 10 x + 9 = 0

In dieser Gleichung ist das gesuchte p gleich 10 und q ist gleich 9. Eingesetzt in die p-q-Formel ergibt das: 

\begin{aligned} x_{1,2} &= - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\ 	&= - \frac{10}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{10}{2}\right)^2-9}\\ 	&= - 5 \pm \sqrt{5^2-9}\\ 	&= - 5 \pm \sqrt{25-9}\\ 	&= - 5 \pm \sqrt{16}\\ 	&= - 5 \pm 4\\ \implies& x_1 = -9 \wedge x_2 = -1 \end{aligned}

Wir erhalten also als Ergebnis, dass die Gleichung zwei Lösungen hat: -9 und -1.

Im nächsten Beispiel betrachten wir die Gleichung:

3x(x+2)-9 = 0

Diese Gleichung liegt nicht in einer Form vor, dass wir p und q direkt ablesen können. Wir müssen daher zuerst die Klammer ausmultiplizieren. Dadurch erhalten wir die Gleichung in dieser Form:

3x^2 + 6x - 9 = 0

Auch in dieser Form können wir p und q noch nicht direkt ablesen, da vor dem quadratischen Term noch ein Faktor steht. Wir müssen also entweder auf die a-b-c-Formel zurückgreifen oder die Gleichung um 3 kürzen. Da auf der rechten Seite 0 steht ist dies problemlos möglich, und wir erhalten:

x^2 + 2x - 3 = 0

Jetzt erhalten wir endlich p = 2 und q = -3. Einsetzen in die p-q-Formel ergibt:

\begin{aligned} x_{1,2} = & - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\ 	= & - \frac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2+3}\\ 	= & - 1 \pm \sqrt{1+3}\\ 	= & - 1 \pm \sqrt{4}\\ 	= & - 1 \pm 2\\ \implies & x_1 = -3 \wedge x_2 = 1 \end{aligned}

In einem dritten Beispiel sehen wir uns diese Gleichung an:

x^2 + 2x + 5 = 0

Hieraus lesen wir p = 2 und q = 5 ab und setzen in die p-q-Formel ein:

\begin{aligned} x_{1,2} & = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\ 	&= - \frac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2-5}\\ 	&= - 1 \pm \sqrt{1-5}\\ 	&= - 1 \pm \sqrt{-4} \end{aligned}

An dieser Stelle brechen wir die Berechnung ab, weil unter der Wurzel ein negativer Wert steht. Im Bereich der reelen Zahlen gibt es für die Gleichung keine Lösung. Die quadratische Gleichung hat also keine Nullstelle.

Herleitung der p-q-Formel

Eine quadratische Gleichung in der Form:

Allgemeine quadratische Gleichung

lässt sich nicht so einfach nach x auflösen. Bei der Herleitung der p-q-Formel bedient man sich daher eines Tricks. Es ist nämlich einfach, eine quadratische Gleichung dieser Form nach x aufzulösen:

Eine quadratische Gleichung mit Hilfe der binomischen Formel auflösen

Im zweiten  Schritt haben wir die erste binomische Formel angewandt, wodurch es leicht möglich war, x auf der linken Seite zu lassen und alles weitere auf die rechte Seite zu bringen.

Der Trick bei der p-q-Formel besteht nun darin, unsere quadratische Gleichung zuerst in die Form einer binomischen Formel zu bringen. Die Herleitung sieht nun so aus:

Herleitung der p-q-Formel

Die binomische Formel haben wir hier im Übergang von der dritten zur vierten Gleichung genutzt. Auf diese Weise war die Herleitung der p-q-Formel einfach.