Formelsammlung Mathe

Lineare Funktion

Eine lineare Funktion ist eine Abbildung der reellen Zahlen auf die reellen Zahlen in dieser Form:

Allgemeine Form linearer Funktionen

Der Parameter m gibt die Steigung der linearen Funktion an. Wenn er positiv ist, so ist die Funktion streng monoton steigend. Wenn er negativ ist, so ist sie streng monoton fallend. Ist er gleich 0, so hat die Funktion den konstanten Wert n. Ihr Graph verläuft dann parallel zur x-Achse im Abstand n.

Der Parameter n gibt den y-Achsenabschnitt der linearen Funktion an. Für x = 0 hat die Funktion den Wert n. Der Graph der Funktion schneidet die y-Achse also genau an der Stelle (0; n).

Falls die Steigung einer linearen Funktion ungleich 0 ist, so ist die Funktion surjektiv und injektiv. Dass sie surjektiv ist, bedeutet dass es zu jedem reellen Wert y einen Wert x gibt, so dass y = f(x). Dass sie injektiv ist, bedeutet, dass für zwei reelle Zahlen u und v aus u ungleich v folgt, dass f(u) ungleich f(v) ist.

Da eine lineare Funktion mit einer Steigung ungleich 0 surjektiv und injektiv ist, ist sie bijektiv. Es gibt deshalb zu ihr eine Umkehrfunktion.

Rechenregeln für lineare Funktionen

FormelBedeutung
Nullpunkt einer linearen FunktionNullpunkt
Steigung einer linearen FunktionSteigung aus den bekannten Punkten (x; f(x)) und (y; f(y)) berechnen
y-Achsenabschnitt einer linearen Funktiony-Achsenabschnitt aus den bekannten Punkten (x; f(x)) und (y; f(y)) berechnen
Umkehrfunktion einer linearen FunktionUmkehrfunktion

Nullpunkt einer linearen Funktion berechnen

Den Nullpunkt einer linearen Funktion können wir direkt aus den Werten von m und n berechnen. Um hierfür eine Formel zu erhalten, setzen wir f(x0) = 0 und lösen nach x0 auf. Dabei gehen wir davon aus, dass m ungleich 0 ist. Ansonsten wäre jeder oder kein Wert der Funktion 0.

Formel für den Nullpunkt einer linearen Funktion herleiten

Wir finden den Nullpunkt einer Funktion also immer an der Stelle Nullpunkt - inline.

Steigung einer linearen Funktion berechnen

Wenn wir mindestens zwei Paare von Argument und Wert einer linearen Funktion kennen, können wir ihre Steigung m berechnen. Wenn die beiden Paare als (x; f(x)) und (y; f(y)) gegeben sind (mit x ungleich y), so erhalten wir die beiden Formeln:

Erste Formel - Steigung berechnen

Zweite Formel - Steigung berechnen

Wir lösen die erste Formel zunächst nach n auf:

Erste Formel nach n auflösen

und setzen sie in die zweite Formel ein:

Erste Formel in die zweite eingesetzt

Jetzt lösen wir diese Formel nach m auf:

Auflösung nach m

Mit anderen Worten entspricht die Steigung einer linearen Funktion dem Verhältnis aus der Differenz der Funktionswerte zu der Differenz ihrer Argumente.

y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen

Kennen wir wiederum zwei Paare von Argument und Wert einer linearen Funktion, können wir ihre Steigung m berechnen. Wenn die beiden Paare als (x; f(x)) und (y; f(y)) gegeben sind (mit x ungleich y und beide ungleich 0), so erhalten wir die beiden Formeln:

Erste Formel - Achsenabschnitt berechnen

Zweite Formel - Achsenabschnitt berechnen

Jetzt lösen wir die erste Forml nach m auf:

Erste Formel nach m aufgelöst

und setzen sie in die zweite Formel ein:

Erste Formel in die zweite eingesetzt

Jetzt lösen wir diese Formel nach n auf:

Auflösung nach n

Umkehrfunktion einer linearen Funktion berechnen.

Eine lineare Funktion, deren Steigung m nicht gleich 0 ist, ist eine ein-eindeutige Abbildung zwischen ihrem Definitionsbereich und ihrem Wertebereich. Sie besitzt daher eine Umkehrfunktion. Wir können die Umkehrfunktion einer linearen Funktion leicht berechnen, indem wir sie nach x auflösen:

Umkehrfunktion einer linearen Funktion berechnen

Die Steigung der Umkehrfunktion ist also 1/m und der y-Achsenabschnitt -n/m.