Wahrscheinlichkeitsrechnung – was, wie wo?

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein wichtiges Instrument, um Risiken zu analysieren und zu minimieren. Doch was genau ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung und wie kann sie angewendet werden?

Was ist eine Wahrscheinlichkeit?

Wahrscheinlichkeit ist die Häufigkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis oder Ergebnis in einer Stichprobe oder beobachteten Serie auftritt. Wenn beispielsweise die Wahrscheinlichkeit eines Münzwurfes „Kopf“ beträgt, bedeutet dies, dass wir erwarten würden, ungefähr 50 Prozent der Würfe wären „Kopf“.

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Statistik und ermöglicht es uns, mit probabilistischen Aussagen umzugehen. In diesem Artikel befassen wir uns zunächst mit den Grundlagen der Wahrscheinlichkeit und sehen uns an, wie sich die Wahrscheinlichkeit verändert, wenn bestimmte Ereignisse eintreten.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gibt an, wie wahrscheinlich es ist, dass dieses Ereignis eintritt. Man kann sie entweder als Bruch (z.B. 1/2) oder als Dezimalzahl (z.B. 0,5) angeben. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt immer zwischen 0 und 1, wobei 0 bedeutet, dass das Ereignis mit Sicherheit nicht eintreten wird und 1 bedeutet, dass das Ereignis mit Sicherheit eintreten wird.
Wenn Sie beispielsweise einen Würfel rollen, gibt es sechs mögliche Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5 oder 6. Jedes dieser Ergebnisse ist genauso wahrscheinlich, daher hat jedes eine Wahrscheinlichkeit von 1/6.

Wie wird sie berechnet?

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet man, indem man die Anzahl der möglichen Ergebnisse, in denen das Ereignis eintritt, durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse insgesamt dividiert.

Wahrscheinlichkeiten können dabei für verschiedene Ereignisse berechnet werden. Zum Beispiel kann die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines bestimmten Ereignisses berechnet werden, aber auch die Wahrscheinlichkeit, dass zwei oder mehrere Ereignisse gleichzeitig stattfinden.

Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten basiert auf dem sogenannten Gesetz der großen Zahlen. Dieses Gesetz besagt, dass sich die tatsächlichen Ergebnisse einer zufälligen Veranstaltung mit der Zeit der Theorie annähern.

Das Gesetz der großen Zahlen ist ein wesentlicher Bestandteil der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es besagt, dass sich die tatsächlichen Ergebnisse einer zufälligen Veranstaltung mit der Zeit der Theorie annähern. Dieses Gesetz ist sehr nützlich, um zu bestimmen, wie wahrscheinlich es ist, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt. Beispielsweise kann es helfen, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass ein bestimmter Würfel beim nächsten Wurf eine Sechs zeigt.

Chi-Quadrat-Test

Der Chi-Quadrat-Test ist ein Test, der verwendet wird, um festzustellen, ob zwei Variablen miteinander verbunden sind. Es gibt verschiedene Arten von Chi-Quadrat-Tests, aber der häufigste ist der unabhängige Chi-Quadrat-Test. Dieser Test wird durchgeführt, um festzustellen, ob es einen Unterschied zwischen zwei Gruppen gibt, zum Beispiel Männer und Frauen oder Jungen und Mädchen.

Der Chi-Quadrat-Test funktioniert, indem er die Anzahl der Beobachtungen in jeder Gruppe mit den erwarteten Anzahl der Beobachtungen vergleicht. Wenn die Anzahl der Beobachtungen in einer Gruppe deutlich von den erwarteten Anzahl abweicht, bedeutet dies, dass es einen Unterschied zwischen den beiden Gruppen gibt.

Anwendungsbeispiele der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein wichtiges Werkzeug in der Statistik. Viele statistische Testverfahren, wie zum Beispiel der oben beschriebene Chi-Quadrat-Test, basieren auf den Gesetzen der Wahrscheinlichkeit. Auch die Regression, ein wichtiges Verfahren der Statistik, nutzt Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung hat in vielen Bereichen der Mathematik und Physik Anwendung gefunden. In diesem Abschnitt sollen einige Beispiele dafür vorgestellt werden.

Finanzmathematik

In der Finanzmathematik kommt die Wahrscheinlichkeitsrechnung bei der Berechnung von Renditen und Risiken zum Einsatz. Auch beim Börsenhandel wird sie verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Kursentwicklungen zu berechnen.

Roulette Wahrscheinlichkeiten

In der Spielbank oder im Online Casino kann man ebenfalls mit Wahrscheinlichkeiten rechnen. Beispielsweise spricht man beim European bzw. French Roulette von einem RTP-Wert von 97,30% sowie beim American Roulette von 94,74%. Diese Quote gibt an, dass der eingezahlte Betrag bei der Auszahlung über einen längeren Zeitraum mit dieser Wahrscheinlichkeit ausgezahlt wird. Der Unterschied dieser Roulette Wahrscheinlichkeiten wird durch das zweite Zahlenfach 0 bei der amerikanischen Variante begründet. Bei diesem Kesselspiel kann man zudem selbst großen Einfluss auf die Gewinnchance nehmen. Es macht nämlich einen großen Unterschied, ob man auf eine bestimmte Zahl setzt, auf eine Zahlengruppe oder auf Rot/Schwarz bzw. Gerade/Ungerade. Der Bereich rund um Roulette ist bis in kleinste Detail analysiert. Sehr gut zu erkennen ist das in diesem Guide zu Roulette Wahrscheinlichkeiten.

Spiele

Beim Pokern rechnen viele Spieler grob die Wahrscheinlichkeiten aus. Die kann zum Beispiel beim Poker passieren, um seine Chancen besser abzuschätzen. Der Großteil der Spieler verlässt sich aber lieber auf sein Glück und hofft auf einen großen Gewinn.

Physik

In der Physik wird die Wahrscheinlichkeitsrechnung bei der Berechnung von Messfehlern eingesetzt. Sie kann auch dazu verwendet werden, die Wahrscheinlichkeit für bestimmte physikalische Vorgänge zu berechnen, zum Beispiel für die Zerfallszeit eines radioaktiven Isotops.

Wartungsintervalle von Maschinen

Wartungsintervalle von Maschinen sind ein wichtiges Thema in der Instandhaltung. Die Wahl des richtigen Intervalls ist entscheidend für die Effizienz der Instandhaltung und die Kosten der Produktion.

Wartungsintervalle werden in zwei Hauptkategorien unterteilt: Zeit-basierte Intervalle und Laufleistungs-basierte Intervalle. Zeit-basierte Intervalle werden häufig für routinemäßige Wartungsarbeiten ver wendet, wie z.B. das Ölwechseln in einem Fahrzeug. Laufleistungs-basierte Intervalle werden häufig für Arbeiten an Komponenten verwendet, die unter hoher Beanspruchung stehen, wie z.B. die Bremsen in einem Fahrzeug.

Laufleistungs-basierte Intervalle sind in der Regel kürzer als Zeit-basierte Intervalle, da sie sich auf die tatsächliche Nutzung der Komponente beziehen und nicht auf die Zeit, die seit dem letzten Service vergangen ist.
Bei beidem hilft die Statistik den passenden Zeitpunkt zur Wartung / Ersatz zu finden bevor es zu einem Ausfall kommt.

Lustiges zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

Es gibt eine ganze Reihe lustiger Zitate und Anekdoten rund um die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hier sind einige der besten:

„Die Wahrscheinlichkeit, dass etwas passiert, ist immer 1.“ – Murphy’s Law

„Wahrscheinlichkeit ist die Kunst, zu wissen, welche der zwei möglichen Dinge wahrscheinlicher ist.“ – Mark Twain

„Wenn etwas nicht passieren kann, wird es mit Sicherheit passieren.“ – Finagle’s Law

Wahrscheinlichkeitsrätsel – Urnenrätsel

Ein beliebtes Rätsel in der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist das Urnenrätsel. Dabei geht es um zwei Urnen, die jeweils eine bestimmte Anzahl von Kugeln enthalten. In einer der Urnen befinden sich nur weiße Kugeln, in der anderen nur schwarze Kugeln. Nun wird eine der beiden Urnen ausgewählt und eine Kugel ohne Hinsehen herausgenommen. Die Frage ist nun, welche Wahrscheinlichkeit besteht, dass die gezogene Kugel aus der Urne mit den weißen Kugeln stammt?

Dieses Rätsel kann man mit Hilfe des Bayes -Theorem lösen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Kugel aus der Urne mit den weißen Kugeln stammt, ist also gleich der Wahrscheinlichkeit, dass die Urne mit den weißen Kugeln ausgewählt wurde, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel aus dieser Urne gezogen wird.

Fazit

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein unverzichtbarer Bestandteil unserer modernen Welt. Denn ohne sie würden wir nicht in der Lage sein, zu verstehen und zu berechnen, was in unserer Welt passieren könnte.

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ermöglicht es uns, unsere Welt besser zu verstehen und zu gestalten. Denn sie hilft uns, die Dinge zu sehen, die wir sonst nicht sehen würden. Sie zeigt uns, welche Möglichkeiten wir haben und welche Konsequenzen unsere Handlungen haben können.

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist also ein sehr mächtiges Werkzeug. Und mit ihrer Hilfe können wir unsere Welt verbessern.

Zinsrechnung

Zinsrechnung ist angewandte Prozentrechnung. Wir benötigen die Zinsrechnung überall, wo wir mit Zinsen rechnen – insbesondere, wenn wir die Kosten für einen Kredit oder den Gewinn aus einer Geldanlage berechnen wollen. In diesem Artikel erfährst du anhand von Beispielen und Erklärungen zur Zinsrechnung, wie du praktisch mit Zinsen rechnest. Wenn du dich noch nicht so gut mit der Prozentrechnung auskennst, lies dir zuerst die Seiten zur Prozentrechnung und zum Dreisatz durch. Dort lernst du Begriffe wie Prozentsatz, Grundwert und Prozentwert kennen, die du für die Zinsrechnung benötigst.

Übersicht über die wichtigsten Formeln der Zinsrechnung

Hier findest du eine knappe Übersicht über die wichtigsten Formeln der Zinsrechnung. Weiter unten auf der Seite stehen die detailierten Erklärungen zu den Formeln.

Formel Bedeutung
Formel für den Jahreszins Jahreszins
Formel für den Tageszins nach Deutsche Methode Tageszins (Deutsche Methode)
Formel für den Monatszins nach Deutscher Methode Monatszins (Deutsche Methode)
Formel für das Endkapital nach einer Zinsperiode Endkapital nach einer Zinsperiode
Formel für das Endkapital mit Zinseszinsen Endkapital mit Zinseszinsen
Sparkassenformel Sparkassenformel

Grundbegriffe der Zinsrechnung

  • Zinssatz: Der Zinssatz wird als Prozentsatz angegeben und beschreibt, wie viele Zinsen abhängig vom Kapital für einen bestimmten Zeitraum (die Zinsperiode) gezahlt werden. In den Formeln geben wir den Zinssatz als p an.
  • Kapital: Als Kapital bezeichnen wir die angelegte Geldmenge, für die Zinsen gezahlt werden. Zahlt man beispielsweise 100 Euro auf ein Sparkonto ein, sind diese 100 Euro das Anfangskapital. Wenn wir nicht mit einer Geldanlage, sondern mit einem Kredit rechnen, ist die geliehene Geldsumme das Kapital. In den Formeln geben wir das Kapital als K und das Endkaptial als Z an.
  • Zinsperiode: Zinsen werden immer für einen bestimmten Zeitraum bezahlt. Die Zeit, für die ein Zinssatz angegeben wird, nennt man Zinsperiode. In der Zinsrechnung betrachtet man üblicherweise einen Jahreszins. Weiter unten zeigen wir, wie man rechnen muss, wenn man einen anderen Zeitraum als die Zinsperiode betrachtet.

Zu dem Begriff „Zinssatz“ noch eine wichtige Anmerkung: Außer „Zinssatz“ hört man in der Zinsrechnung manchmal den Begriff „Zinsfuß“. Dabei bezeichnet der Zinsfuß die Zahl vor dem Prozentzeichen und der Zinssatz entspricht dem Prozentsatz. Falls wir also einen Zinssatz von 2,5 % = 0,025 haben, ist der Zinsfuß 2,5.

Jahreszins: Zinsen für ein Jahr berechnen

Im einfachsten Fall ermittelt man mit der Zinsrechnung, wie viele Zinsen man für sein Anfangskapital in einer Zinsperiode erhält oder wie viele Zinsen man für einen Kredit in einer Zinsperiode zahlt. Da die Zinsperiode in der Zinsrechnung üblicherweise ein Jahr beträgt, berechnet man also den Jahreszins.

Die Zinsen errechnen sich aus dem Produkt aus Zinssatz (p) und Anfangskapital (K). Die Formel lautet:

Formel für den Jahreszins

Auf die Prozentrechnung übertragen, entspricht der Jahreszins dem Prozentwert des Zinses (Prozentsatz) bezogen auf das Kapital (Grundwert).

Möchte man wissen, wie sich der Wert des angesparten Gelds nach einem Jahr entwickelt hat, addiert man zum Jahreszins den ursprünglichen Kapitalwert und erhält das sogenannte Endkapital. Alternativ addiert man zum Zinssatz einhundert Prozent. Die Formel für das Endkapital lautet daher:

Formel für das Endkapital nach einer Zinsperiode

Beispiel: Angenommen wir legen 400 Euro zu einem Zinssatz von 2,25 % für ein Jahr an. Wir erhalten nach einem Jahr folgende Zinsen ausgezahlt:

Beispiel für die Berechnung des Jahreszins

Der Wert des Endkapitals beträgt:

Beispiel für die Berechnung des Endkapitals nach einer Zinsperiode

Zinsen für einzelne Monate oder Tage berechnen

Manchmal möchte man Zinsen nicht für ein ganzes Jahr, sondern für einen kürzeren Zeitraum berechnen. Die Zinsrechnung bietet verschiedene Möglichkeiten, den Zinssatz auf einzelne Tage herunterzurechnen. Die sogenannten „Deutschen Methode“ rechnet für das ganze Jahr mit 360 Tagen und für jeden Monat mit 30 Zinstagen. Sie unterscheidet sich von der tagegenauen Methoden, die mit der tatsächlichen Anzahl von Tagen pro Jahr (365, beziehungsweise 366 in Schaltjahren) und pro Monat rechnet. Wir stellen hier die „Deutsche Methode“ der Zinsrechnung genauer vor.

Zur Berechnung der Tageszinsen nutzt man in der Zinsrechnung den einfachen Dreisatz. Berechnet man mit der „Deutschen Methode“, teilt man den Zinssatz durch 360, um den Zinssatz pro Tag zu erhalten. Diese Tageszinsen multipliziert man mit der Anzahl der Tage. So berechnet man die Zinsen für mehrere Zinstage (t) so:

Formel zur Berechnung von Tageszinsen

Werden also 200 Euro für 24 Tage zu einem Zinssatz von 4 Prozent verzinst, erhält man Zinsen in Höhe von:

Beispiel für die Berechnung von Tageszinsen

Auch andere Zinsperioden werden in der Zinsrechnung auf diese Weise berechnet. Die Gleichung zur Berechnung der Monatszinsen lautet beispielsweise:

Formel zur Berechnung von Monatszinsen

Zinseszins

Wenn man Geld über einen längeren Zeitraum anlegt und die Zinsen nicht abhebt, sondern ebenfalls anspart, erhält man in den folgenden Jahren nicht nur auf den ursprünglich eingezahlten Betrag Zinsen, sondern auch auf die früheren Zinsen. Zinsen, die auf Zinsen gezahlt werden, bezeichnet man in der Zinsrechnung als Zinseszins.

Die folgende Tabelle zeigt an einem Beispiel der Zinseszinsrechnung, wie Zinseszinsen den gesparten Betrag erhöhen. In diesem Beispiel wird ein Kapital von 300 Euro auf ein Sparkonto mit vierprozentiger Verzinsung eingezahlt. Die mittlere Spalte zeigt den Wert des Kapitals mit und die recht Spalte den Wert ohne Zinseszins

Jahr Mit Zinseszins Ohne Zinseszins
1 300 Euro 300 Euro
2 312 Euro 312 Euro
3 324,48 Euro 324 Euro
4 337,46 Euro 336 Euro
5 350,96 Euro 348 Euro
6 365 Euro 360 Euro
7 379,60 Euro 372 Euro
8 394,78 Euro 384 Euro
9 410,57 Euro 396 Euro
10 426,99 Euro 408 Euro
50 2.050 Euro 888 Euro

Der Zinseszins hat in diesem Beispiel das Kapital über fünfzig Jahre beinahe versiebenfacht. Bei einfacher Verzinsung ist das Endkapital lediglich knapp dreimal so groß wie der Geldbetrag, den man angelegt hat.

In der Zinseszinsrechnung steigt der Wert des Kapitals exponentiell. Die folgende Grafik zeigt wie sich der Wert des angelegten Geldes aus dem obigen Beispiel mit der Zeit entwickelt. Die grüne Line zeigt was das Kapital bei einfacher Verzinsung nach einer bestimmen Zahl an Jahren Wert ist, die rote Line zeigt die Entwicklung des Kapitals mit Zinseszinsen:

Diagramm zur Zinseszinsrechnung

Um die Verzinsung mit Zinseszins zu berechnen, nutzt man folgende Formel:

Formel zur Berechnung der Kapitalentwicklung mit Zinseszinsen

In dieser Formel steht K für das Anfangskapital, Z für das Endkapital, p für den Zinssatz und t für die Anzahl der Zinsperioden.

Zinsen bei jährlicher Einzahlung mit Zinseszinsrechnung

Bei längerfristigen Sparplänen ist es üblich, nicht nur einen anfänglichen Geldbetrag anzulegen, sondern zusätzlich jährlich einen festgelegten Betrag einzuzahlen. Diesen Betrag bezeichnet man in der Zinsrechnung als Annuität. In allen Folgejahren wird er ebenfalls verzinst.

Der Wert des Endkapitals wird mit der sogenannten Sparkassenformel berechnet:

Sparkassenformel mit Herleitung

In der Sparkassenformel steht wie in der Zinsrechnung üblich K für das Anfangskapital, Kn für die Annuität, Z für das Endkapital und q für 1 + p.Kapitalentwicklung bei jährlicher Einzahlung (Diagramm zur Sparkassenformel)

Diese Grafik, zeigt die Kapitalentwicklung, bei einmaliger Einzahlung von 500 Euro und einer jährlichen Einzahlung von 100 Euro bei 4 Prozent Zinsen. Nach 20 Jahren wurde ein Betrag von 2.400 Euro eingezahlt, der mit Verzinsung auf 3.820,55 Euro angewachsen ist.

Zinssätze berechnen

In den bisherigen Formeln der Zinsrechnung waren Zinssatz, Kapital und die Zinsperioden gegeben. Manchmal kennt man jedoch statt des Zinssatzes nur das Endkapital. Die Frage, die man damit beantwortet, lautet beispielsweise: „Zu welchem Zinssatz muss ich 100 Euro anlegen, damit daraus nach zehn Jahren 400 Euro werden?“.

Die Formel zur Berechnung des Zinssatzes mit dem Endkapital Z und dem angelegten Betrag K lautet bei einer Zinsperiode von einem Jahr:

Formel zur Berechnung des Zinssatzes nach einer Zinsperiode

Und bei mehrjähriger Verzinsung:

Formel zur Berechnung des Zinssatzes bei mehreren Zinsperioden

Die oben gestellte Frage beantwortet die Zinseszinsrechnung mit:

Beispiel zur Berechnung von Zinssätzen

Man muss das Kapital also über zehn Jahre mit knapp fünfzehnprozentiger Verzinsung anlegen, um auf das angestrebte Endkapital zu kommen.

Vollständige Induktion

Die vollständige Induktion ist ein Beweisverfahren, das beim Beweisen von Aussagen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen eine wichtige Rolle spielt. Beweise per vollständiger Induktion werden immer in zwei Schritten vollzogen: Zum einen wird bewiesen, dass eine Aussage für eine kleine natürliche Zahl n0 gilt (üblicherweise ist n0 = 1). Zum andern wird gezeigt, dass die Aussage falls sie für ein beliebiges n gilt auch für n + 1 gilt. Daraus kann geschlossen werden, dass sie für jedes n > n0 gilt.

In der vollständigen Induktion beweisen wir also, dass eine Aussage für 1 gilt und dass sie, falls sie für eine Zahl gilt, auch für ihren Nachfolger gilt. Weil die Aussage für 1 gilt, gilt sie also auch für 2. Weil sie für 2 gilt, gilt sie auch für 3. Weil sie für 3 gilt, auch für 4… Da wir theoretisch in dieser Weise immer weiter machen können, schließen wir, dass die Aussage für jede natürliche Zahl gilt, egal wie groß sie auch sein mag.

Bildhaft kann man sich die vollständige Induktion wie eine Reihe von Dominosteinen vorstellen, die alle nacheinander umfallen: Wir schubsen den ersten Stein um (die Behauptung: „Der erste Stein fällt um“, ist damit wahr). Wir wissen, wenn ein Stein umfällt, stößt er auch seinen Nachbarn um (wenn die Annahme: „Der n-te Stein fällt um“, stimmt, folgt: „Der „n + 1“-te Stein fällt um“). Daraus können wir schließen, dass irgendwann jeder einzelne Dominostein umfällt.

Induktionsbeginn, Induktionsannahme und Induktionsschritt

Die Begriffe Induktionsbeginn, Induktionsannahme und Induktionsschritt bezeichnen die einzelnen Teile eines Beweises per vollständiger Induktion. Wenn wir einen Beweis per vollständiger Induktion ausführen, darf keiner dieser Teile fehlen:

  • Als Induktionsbeginn bezeichnen wir den Beweis der Behauptung für n0. Dieser Beweis muss direkt geführt werden, beispielsweise, indem wir n0 = 1 in den Term einfügen, über den wir eine Aussage machen möchten.
  • Die Induktionsannahme ist die Annahme, dass unsere Behauptung für ein beliebiges n gilt. Die Annahme wurde von uns noch nicht bewiesen. Für den Induktionsschritt nehmen wir sie als wahr an.
  • Mit dem Induktionsschritt zeigen wir, dass unsere Behauptung für n + 1 gilt, falls sie für n gilt.

Beispiel für die vollständige Induktion

Die vollständige Induktion wird gerne genutzt um Aussagen über Reihen und Folgen zu beweisen. Als Beispiel wollen wir folgende Aussage beweisen:

Die Summe aller ungeraden Zahlen kleiner 2*n ist gleich n zum Quadrat

In Worten: „Die Summe aller ungeraden Zahlen kleiner 2*n ist gleich n zum Quadrat“. Diese Aussage stimmt beispielsweise für alle ungeraden Zahlen kleiner 8 (n=4 und n2=16):

Die Summe aller ungeraden Zahlen kleiner 8 ist gleich 4 zum Quadrat also 16

Für den Induktionsbeginn zeigen wir zunächst, dass die Aussage für n0 = 1 gilt. Dies ist trivial:

Induktionsbeginn

Jetzt nehmen wir an, dass unsere Behauptung für ein beliebiges n gilt. Dies ist unsere Induktionsannahme. Unter dieser Annahme versuchen wir zu zeigen, dass sie auch für n + 1 gilt (Induktionsschritt):

Induktionsschritt

Der Induktionsschritt ist also korrekt und die Behauptung gilt für alle n > 1, d.h. für alle natürlichen Zahlen. Um die Richtigkeit des Induktionsschritt zu zeigen, haben wir in der Umformung des blau markierten Terms die Induktionsannahme genutzt.

Zusammenhang von Induktionsannahme und Induktionsbeginn

Erfahrungsgemäß bereitet es Schülern manchmal Probleme, das Verhältnis von Induktionsannahme und Induktionsbeginn in der volltständigen Induktions richtig zu begreifen. Wir wollen es deshalb noch einmal im Detail betrachten. Zunächst eine wichtige Unterscheidung:

  • Beim Induktionsbeginn zeigen wir für ein konkretes n0, dass die Aussage war ist. Üblicherweise ist n0 = 1.
  • Bei der Induktionsannahme nehmen wir an, dass die Aussage, die wir beweisen wollen, für ein irgendein beliebiges n wahr ist. Ob sie tatsächlich war ist, wissen wir nicht. Ebensowenig treffen wir eine Aussage, um welche Zahl es sich bei n handelt und ob die Aussage auch für andere n gilt.

Der Induktionsbeginn ist wie im oberen Beispiel häufig trivial, weil wir für ihn einfach nur 1 in die zu beweisende Aussage einsetzen müssen. Trotzdem dürfen wir ihn nicht vernachlässigen. Fehlt er, ist auch der Induktionsschritt wertlos.

Der Induktionsschritt ist selbst dann korrekt, wenn wir mit ihm aus einer falschen Aussage auf eine andere falsche Aussage schließen. Wir könnten beispielsweise annehmen, dass für ein beliebiges n gilt, dass 2n + 5 eine gerade Zahl ist. Dann schließen wir im Induktionsschritt, dass dies auch für n + 1 gilt, weil eine gerade Zahl zu der wir 2 addieren wieder gerade ist. Damit können wir aber noch lange nicht beweisen, dass 2n + 5 für jede natürliche Zahl n gerade ist. Wir finden nämlich keine einzige konkrete Zahl n0 für die diese Aussage wahr ist.

Obwohl der Induktionsschritt korrekt ist, lässt sich diese Aussage also nicht per vollständiger Induktion beweisen, weil der Induktionsbeginn nicht gelingt. Oder um noch einmal auf das Bild der kippenden Dominosteine zurückzukommen: Alle Steine bleiben stehen, wenn nicht wenigstens ein Stein als erstes kippt.

Summenzeichen

Das Summenzeichen (auch als „Summationszeichen“ oder „Summationssymbol“ bezeichnet) wird verwendet, wenn wir eine Summe über endlich oder unendlich viele Glieder einer Reihe bilden wollen, wobei der Wert der Glieder von einer Variablen abhängt. Eine Summe wird mit dem Summenzeichen in dieser Weise geschrieben:

Summenzeichen

Zu dem Summenzeichen gehören verschiedene Bestandteile, die oben farblich markiert sind:

  • Die Laufvariable, bzw. der Laufindex (blau): Dies ist die veränderliche Variable der Summe. Für jeden Wert der Laufvariable gibt es genau einen Summanden. Für die Laufvariable, bzw. den Laufindex werden üblicherweise die Buchstaben ijk oder l gewählt.
  • Der Startwert (rot): Dies ist der kleinste Wert, den die Laufvariable annimmt. Der Startwert ist eine ganze Zahl.
  • Der Endwert (grün): Dies ist der größte Wert, den die Laufvariable annimmt. Der Endwert ist eine ganze Zahl. Falls hier das Unendlichkeitszeichen (eine liegende Acht: ∞) steht, wird die unendliche Summe gebildet, wobei die Laufvariable den Wert des Startwerts und jeder Ganzzahl größer als dem Startwert annimmt.
  • Die Summanden (orange): Die Summanden bestehen üblicherweise aus einer Funktion, die von der Laufvariable abhängt.

Wenn die Summe wie oben mit Start- und Endwert geschrieben ist, nimmt die Laufvariable den Wert jeder ganzen Zahl zwischen dem Start- und dem Endwert ein (inklusive Startwert und Endwert). Für jeden ihrer Werte wird genau ein Summand addiert. Ein Beispiel für solch eine Summe ist die Summe aller Quadrate der ganzen Zahlen zwischen eins und fünf:

Beispiel für das Summenzeichen: Die Summe aller Quadrate der ganzen Zahlen von eins bis fünf

Die Laufvariable ist hier i, der Startwert 1, der Endwert 5 und die Summanden werden über die Funktion i2 gebildet, wobei i alle Werte von eins bis fünf einnimmt.

Rechenregeln für das Summenzeichen

Das Summenzeichen ist eine verkürzende Schreibweise für Summen. Deshalb können wir einzelne Summanden aus dem Summenzeichen herausnehmen und einzeln notieren:

Summanden ausgehend vom Endwert aus dem Summenzeichen herausnehmen

Hier wurde im ersten Schritt der Summand an aus dem Summenzeichen herausgenommen und einzeln notiert. Der Endwert wurde dafür um eins veringert. Danach wurde auch der Summand an-1 aus dem Summenzeichen herausgenommen. Der Endwert wurde dafür noch einmal um eins verringert. Im letzten Schritt wurden alle Summanden aus dem Summenzeichen herausgenommen.

Natürlich können wir nicht nur vom Endwert ausgehen, um Summanden einzeln zu notieren, sondern auch vom Startwert. Dabei muss der Startwert entsprechend angepasst werden:

Summanden ausgehend vom Startwert aus dem Summenzeichen herausnehmen

Wir können eine Summe auch in mehrere Teilsummen aufteilen:

Summen aufteilen

So können wir auch Summanden für Laufwerte zwischen Start- und Endwert einzeln notieren:

Innere Summanden lassen sich ebenfalls einzeln schreiben

Summen über konstante Summanden

Manchmal kommt es vor, dass die einzelnen Summanden gar nicht vom Wert der Laufvariable abhängen. ai ist dann gleich einer Konstante c. In diesen Fällen können wir die Summe einfach berechnen, indem wir den Wert der Konstante mit der Anzahl der Summanden multiplizieren. Die Anzahl der Summanden in einer Summe entspricht der Differenz zwischen Endwert und Startwert plus eins:

Summe über konstante Summanden

Das sieht beispielsweise so aus:

Beispiel für eine Summe über konstante Summanden

Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz besagt, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge die Summanden einer Summe aufsummiert werden. Dies können wir uns zunutze machen, wenn die Summanden selbst wieder Summen enthalten:

Anwendung des Assoziativgesetz auf das Summenzeichen

Distributivgesetz

Das Distributivgesetz besagt, dass es egal ist, ob man zuerst jeden Summanden mit einem Faktor multipliziert und danach die Summe der Produkte bildet, oder ob man zuerst die Summanden addiert und anschließend die Summe mit dem Faktor multipliziert. Dies gilt natürlich auch für das Summenzeichen. So können wir Faktoren aus den Summanden ausklammern und vor das Summenzeichen schreiben:

Anwendung des Distributivgesetz auf das Summenzeichen

Indexverschiebung

Die Laufvariable nimmt alle Werte zwischen Startwert und Endwert ein und wird in die Summanden eingefügt. Wir können den Startwert und den Endwert jeweils um denselben Betrag erhöhen oder veringern. Wenn wir den Wert, den wir in die Summanden einsetzen, um denselben Betrag mit umgekehrten Vorzeichen anpassen, erhalten wir weiterhin dieselbe Summe. Falls wir also beispielsweise Start- und Endwert jeweils um drei erhöhen, müssen wir von der Laufvariablen drei abziehen, bevor wir sie im Summanden einsetzen:

Indexverschiebung: Allgemeines Vorgehen

Wie die Indexverschiebung funktioniert versteht man am besten, wenn man sich ein Beispiel dazu ansieht:

Beispiel für die Indexverschiebung

Die Indexverschiebung ist besonders dann praktisch, wenn wir zwei Summen addieren möchten, bei denen Startwert und Endwert um denselben Betrag voneinander abweichen:

Anwendung der Indexverschiebung

Spezielle Notationsformen

Die Art in der das Summenzeichen geschrieben wird, kann manchmal von der oben aufgeführten Form abweichen. Zwei Spezialfälle wollen wir hier betrachen: Summen über Summen und Summen über Indexmengen.

Zwei Laufvariablen: Summen über Summen

Es kommt immer mal wieder vor, das in einer Rechnung Summen über Summen gebildet werden, so dass zwei Summenzeichen direkt hintereinander stehen. Diese Summenzeichen lassen sich zusammenfassen, indem man beide Laufvariablen an einem Summenzeichen notiert:

Zwei Laufvariablen an einem Summenzeichen

Unterhalb des Summenzeichen werden beide Laufvariablen mit ihrem jeweiligen Startwert notiert, darüber beide mit ihrem jeweiligen Endwert. Um deutlich zu machen, welcher Endwert zu welcher Laufvariable gehört, muss die jeweilige Laufvariable explizit angegeben werden.

Wenn wir also ein Summenzeichen mit zwei Laufvariablen haben, so bedeutet dies, dass sie Summe über alle Kombinationen von möglichen Werten der Laufvariablen gebildet werden:

Beispiel für zwei Laufvariablen an einem Summenzeichen

Summen über Indexmengen

Bis jetzt haben wir nur Summen betrachtet, bei denen die Indexwerte aus einer kontinuierlichen Abfolge ganzer Zahlen stammen. Manchmal möchte man jedoch über andere Mengen summieren. In diesem Fall werden die Laufvariable und die Menge unterhalb des Summationszeichens notiert. Der Endwert entfällt hierbei. Sei A eine Menge, so wird eine Summe über Indizees aus A so dargestellt:

Summe über eine Indexmenge

Die Summe der Wurzeln aus 16, 81 und 144 kann beispielsweise so notiert werden:

Beispiel für eine Summe über eine Indexmenge

Ein anderes Beispiel ist die Summe aller Teiler von 20:

Beispiel für eine Summe über eine kokmplexere Indexmenge

(Die Menge unterhalb des Summenzeichen ist folgendermaßen zu verstehen: „Alle natürlichen Zahlen n mit der Eigenschaft, dass es irgendeine natürliche Zahl m gibt, so dass n mal m gleich zwanzig ist.“)

Reihen in der Mathematik

Eine Reihe ist in der Mathematik eine Summe über die Glieder einer Folge. Die Reihe über die ersten n Glieder einer Folge (an) wird als sn bezeichnet. Mathematisch werden Reihen über das Summenzeichen notiert und es gilt:

Allgemeine Definition von Reihen

Einige wichtige Reihen in der Mathematik sind:

Formel Bedeutung
Gaußsche Summenformel Gaußsche Summenformel
Arithmetische Reihe - inline Arithmetische Reihe
Geometrische Reihe - inline Geometrische Reihe
Geometrische Reihe mit q < 1 - inline Unendliche geometrische Reihe für -1 < q < 1

Endliche und unendliche Reihen

Wir unterscheiden zwischen endlichen und unendlichen Reihen, je nachdem, ob n endlich ist oder nicht. Der Wert einer unendlichen Reihe beträgt:

Wert einer unendlichen Reihe

Dieser Wert ist nur definiert, falls die Reihe für große Werte von n konvergiert. Das bedeutet, es muss einen Wert s geben, so dass für jeden beliebig kleinen Bereich um s ein n’ existiert mit der Eigenschaft, dass alle sn für n > n’ innerhalb dieses Bereiches liegen.

Wichtige Reihen in der Mathematik

Arithmetische Reihe

Eine arithmetische Reihe ist die Summe über die ersten n Glieder einer arithmetischen Folge. Für jede arithmetische Folge gilt ein Bildungsgesetz in dieser Form:

Arithmetische Folge

Eine arithmetische Reihe ist somit definiert als:

Arithmetische Reihe

Für die Summe über die ersten n natürlichen Zahlen gilt die sogenannte Gaußsche Summenformel:

Gaußsche Summenformel

Somit gilt für arithmetische Reihen:

Arithmetische Reihe vollständig

Geometrische Reihe

Eine geometrische Reihe ist eine Summe über n Glieder einer geometrischen Folge. Für jede geometrischen Folge gilt ein Bildungsgesetz in dieser Form:

Geometrische Folge

Eine geometrische Reihe ist somit definiert als:

Geometrische Reihe

Falls q kleiner als 1 und größer als -1 ist, konvergiert die Geometrische Reihe. Dann gilt:

Geometrische Reihe für q < 1

Für c = 1 und q = 1/2 gilt beispielsweise:

Beispiel für die Konvergenz der geometrischen Reihe

Quotientenregel

Die Quotientenregel besagt, wie der Quotient zweier Funktionen abgeleitet wird. Sie lautet:

Quotientenregel

In der Kurzschreibweise wird die Quotientenregel häufig auch so notiert.

Kurzform der Quotientenregel

Beispiele für die Quotientenregel

Die Quotientenregel wird am besten an ein paar Beispielen deutlich. Als erstes wollen wir dafür diesen Bruch ableiten:

Erstes Beispiel für die Quotientenregel

Zunächst leiten wir Zähler und Nenner jeweils einzeln ab. Die Ableitung des Zählers ist:

Ableitung des Zählers

Und die Ableitung des Nenners lautet:

Ableitung des Nenners

Wenn wir die Ableitungen in die Formel für die Quotientenregel einsetzen, erhalten wird:

Anwendung der Quotientenregel

Als nächstes sehen wir uns die Ableitung für den Tangens an. Da der Tangens als Quotient aus Sinus und Cosinus gebildet wird, können wir die Quotientenregel für die Ableitung nutzen:

Ableitung des Tangens mit der Quotientenregel

Herleitung der Quotientenregel

Mit der Kehrwertregel können wir die Quotientenregel als Spezialfall der Produktregel herleiten. Dafür betrachten wir den Quotienten der beiden Funktionen als Produkt des Zählers mit dem Kehrwert des Nenners:

Quotient als Produkt des Zählers mit dem Kehrwert des Nenners

Unter Anwendung der Quotientenregel erhalten wir:

Herleitung der Quotientenregel

Prozentrechnung

Unter der Prozentrechnung versteht man das Rechnen mit Prozenten. Die Prozente geben hierbei das Verhältnis zweier Größen in Hundertsteln an. Grundlegend für die Prozentrechnung sind in allen Formeln die Begriffe ProzentsatzProzentwert und Grundwert. Bei jeder für die Prozentrechnung wichtige Formel spielen sie eine Rolle. Nach einigen Formeln, die die Verwendung des Prozentzeichens veranschaulichen, werden die Formeln für die Grundbegriffe des Prozentrechnens dargestellt.

Grundlagen der Prozentrechnung

Das Prozentzeichen entspricht der Division durch Hundert. Die Angabe „x Prozent“ kann deshalbt auch als „x Hundertstel“ verstanden werden Die folgenden Formeln veranschaulichen die Verwendung des Prozentzeichens:

Ein Prozent

Hundert Prozent

Vierzig Prozent

Beliebiege Prozentzahl

Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert

Die Begriffe GrundwertProzentsatz und Prozentwert liegen allen Formeln der Prozentrechnung zu Grunde. Prozentwert und Grundwert haben dabei stets dieselbe Einheit, während der Prozentsatz eine einfache Zahl ist. Die folgenden Formeln veranschaulichen den Zusammenhang dieser drei Begriffe:

Prozentsatz

Berechnung des Prozentwerts

Berechnung des Grundwerts

Achtung: Das Prozentzeichen darf nicht mit einer Einheit wie „Meter“ oder „Gramm“ verwechselt werden. Die Multiplikation, bzw. Division mit 100% in den obigen Formeln dient nur der Veranschaulichung. Da 100% = 1 ist, ändert sie nichts am Ergebnis.

Einge Beispielrechnungen sollen die Verwendung der Formeln zur Prozentrechnung verdeutlichen:

Berechnung des Prozentsatzes

Der Prozentsatz gibt das Verhältnis von Prozentwert zu Grundwert in Prozent an. Er wird berechnet, indem der Prozentwert durch den Grundwert geteilt und mit 100 Prozent multipliziert wird.

Angenommen es soll berechnet werden, wie viel Prozent vier Kilogramm von 20 Kilogramm sind. Die vier Kilogramm entsprechen hier dem Prozentwert, die 20 Kilogramm dem Grundwert. Der Prozentsatz berechnet sich folgendermaßen:

Beispiel für den Prozentsatz

Berechnung des Prozentwertes

Der Prozentwert gibt an wie viel der durch den Prozentsatz bestimmte Teil einer Menge wert ist, deren Grundwert bekannt ist. Er wird berechnet, indem Grundwert und Prozentsatz multipliziert und durch einhundert Prozent dividiert werden.

Gehören zum Beispiel Herrn Müller 23 Prozent eines Grundstückes und das Grundstück ist 500.000 Euro Wert, so kann er berechnen, wie viel sein Anteil des Grundstückes Wert ist. Die 23 Prozent bilden den Prozentsatz. Die 500.000 Euro den Grundwert. Der Wert seines Anteils entspricht dem Prozentwert. Diesen berechnet er so:

Beispiel für den Prozentwert

Berechnung des Grundwertes

Wenn der Wert eines Anteils (Prozentwert) und die Größe dieses Anteils im Verhältnis Gesamtmenge (Prozentsatz) bekannt sind, gibt der Grundwert den Wert der Gesamtmenge an. Der Grundwert wird berechnet, indem der Prozentwert durch den Prozentsatz geteilt und mit einhundert Prozent multipliziert wird.

Fährt man beispielsweise mit dem Auto auf der A7 von Hamburg über Hannover nach Ulm, so beträgt die Strecke von Hamburg nach Hannover etwa 160 Kilometer. Dies entspricht etwa 23 Prozent der Gesamtstrecke. Wie weit ist die Fahrt von Hamburg nach Ulm insgesamt? Die Strecke von Hamburg nach Hannover ist ein Teil der Gesamtstrecke und entspricht damit dem Prozentwert. Ihr Verhältnis zur Gesamtstrecke (23 Prozent) sind der Prozentsatz. Die Gesamtstrecke nach Ulm entsprechen dem Gesamtwert

Beispiel für den Grundwert

Anwendung der Prozentrechnung

Prozentrechnung ist vor allem dort wichtig, wo die Größe einer Teilmenge ins Verhältnis zur Gesamtmenge gesetzt wird. Ein Beispiel hierfür sind Wahlergebnisse, die immer in Prozent angegeben werden. So sagt man beispielsweise, dass bei der Bundestagswahl 2017 11,7 Prozent aller Wahlberechtigten in Hamburg und 9 Prozent aller Wahlberechtigten in Bayern den Grünen ihre Erststimme gegeben haben.

Würde man dagegen absolute Zahlen angeben, könnte man sagen, dass die Grünen in Hamburg 114.485 Erststimmen und in Bayern 661.356 Erststimmen bekommen haben. Auf diese Weise wären die Ergebnisse aber schlecht vergleichbar. Auf den ersten Blick sieht es so aus, als ob das Ergebnis der Grünen in Bayern beinahe sechsmal so gut war wie in Hamburg. Die Ergebnisse lassen sich aber erst richtig vergleichen, wenn man sie ins Verhältnis zur Gesamtzahl der Wähler in beiden Bundesländern setzt (1.296.656 in Hamburg und 9.522.371 Bayern).

In den prozentualen Wahlergebnissen ist die absolute Zahl der Stimmen schon ins Verhältnis zur Gesamtzahl der Wähler gesetzt. Die prozentualen Wahlergebnisse für verschiedene Regionen oder in verschiedenen Wahlen sind so viel einfacher zu vergleichen. Hierbei entspricht das prozentuale Wahlergebnis dem Prozentsatz, die absolute Zahl der Stimmen dem Prozentwert und die Gesamtheit aller Wähler dem Grundwert.

Verschiedene Beispiele zur Prozentrechnung

Steigung: Von Straßen oder Schienen sagt man manchmal, sie würden um einen bestimmten Prozentsatz steigen. In diesem Fall gibt die Prozentangabe das Verhältnis des vertikalen Höhenunterschieds (h) zur horizontal zurückgelegten Strecke (s) an. Die Formel hierfür lautet:

Formel für die Steigung

Beträgt die Steigung also 7,5 % und werden 1,5 Kilometer zurückgelegt, beträgt der Höhenunterschied (h) demnach:

Beispiel für die Steigung

Während der Fahrt über 1,5 Kilometer wurden also 112,5 Höhenmeter überwunden.

Gehaltsteigerung

Wenn das Gehalt von einem auf das nächste Jahr um 5 Prozent steigt, bedeutet dies, dass das neue Gehalt 105 Prozent des alten entspricht. Es wird folgendermaßen berechnet:

Beispiel für Gehaltsteigerung

Für die Berechnung einer Steigerung um einen bestimmten Prozentsatz, muss man diesen Prozentsatz zu hundert addieren und mit dem Grundwert multiplizieren.

Erhöhung und Senkung um denselben Prozentsatz

Ein häufiger Irrtum im Rechnen mit Prozenten entsteht, wenn mehrere zeitliche Änderungen in Prozentsätzen angegeben werden. Hierbei wird fälschlicherweise der Prozentsatz häufig nur auf den ersten Wert angewendet. Tatsächlich muss die Prozentangabe aber immer auf den aktuellen Wert angewendet werden. Spricht man beispielsweise davon, dass der Preis für eine Ware erst um 10 Prozent steigt und danach um 10 Prozent sinkt, ist er hinterher entgegen der Intuition nicht wieder derselbe. An einer einfachen Beispielaufgabe wird dies schnell ersichtlich. Der ursprüngliche Preis P0 beträgt hier 40 Euro. Er steigt zunächst um 10 Prozent und beträgt danach:

Erste Preissteigerung

Wenn der Preis wieder um zehn Prozent sinkt, beträgt er:

Preissenkung

Wie man sieht ist der Preis nach der Senkung um 10 Prozent um 40 Cent niedrieger als der ursprüngliche Preis.

Verschiedene Prozentsätze

Ein weiteres häufiges Missverständnis entsteht, wenn mehrere Prozentsätze in derselben Rechnung verwendet werden. Nehmen wir beispielsweise an, der Frauenanteil in einem Unternehmen betrug bisher 10 Prozent. Nach einigen Maßnahmen von Seiten der Personalabteilung, beträgt er heute 20 Prozent. Dann ist der Anteil der Frauen einerseits um 10 Prozent gesteigen, andererseits ist die absolute Zahl der Mitarbeiterinnen um 100 Prozent gestiegen. Die beiden Prozentangaben dürfen nicht verwechselt werden. Zur besseren Unterscheidung spricht man deshalb davon, dass der Anteil um 10 Prozentpunkte gestiegen sei.

Wie lernt man Prozentrechnen am besten?

Nicht nur für die Schule, sondern vor allem auch für den praktischen Alltag ist es wichtig, die für die Prozentrechnung wichtigsten Formeln auswendig zu kennen und sicher zu beherrschen. Wie die Beispiele, die oben genannt wurden, zeigen, spielt das Rechnen mit Prozenten in vielen praktischen Bereichen eine wichtige Rolle. Immer wieder kann man mit der Prozentrechnung Aufgaben lösen, die sich ansonsten als äußerst schwierig darstellen. Da Zeitungen und anderen Medien sehr häufig wichtige Daten in Prozenten angeben, ist zudem wichtig, dass man für ihre Prozentrechnung eine Erklärung hat. Wenn man die Daten nämlich erst einmal hinterfragt, stellen sie sich häufig als mangelhaft oder bei weitem nicht so aussagekräftig dar, wie es die Medien gerne verbreiten. Auch für käufmännische Berufe ist diese Art der Rechnung von Bedeutung. Unter anderem basiert die gesamte Zinsrechnung auf dem Rechnen in Hundertstel. Schüler, die sich für solche Berufe interessieren sollten schon früh die Prozentrechnung mit Excel üben, da dies das bei weitem wichtigste Hilfsmittel im kaufmännischen Büro ist. Schließlich ist festzuhalten, dass auch bei der Prozentrechnung nur Übungen weiterhelfen, sie sicher zu beherrschen.

Produktregel

Die Produktregel besagt, wie die Ableitung von einem Produkt zweier Funktionen gebildet wird. Sie lautet:

Produktregel

In Worten lautet die Produktregel:

Das Produkt zweier Funktionen wird abgeleitet, indem man das Produkt aus der Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten Funktion zum Produkt der ersten Funktion mit der Ableitung der zweiten Funktion addiert.

Beispiele für die Produktregel

Am anschaulichsten ist die Produktregel, wenn wir sie uns an einigen Beispielen ansehen. Beginnen wir mit:

Das Produkt zweier Funktionen

In diesem Beispiel lauten die beiden Funktionen, die miteinander multipliziert werden:

Die beiden zu multiplizierenden Funktionen

Wir bilden jeweils die Ableitung:

Die Ableitungen der ersten multiplizierten Funktion

und:

Die Ableitungen der zweiten multiplizierten Funktion

Mit der Produktregel folgt:

Anwendung der Produktregel

Als nächstes sehen wir uns diese Funktion an:

Ein weiteres Beispiel für die Multiplikation von Funktionen

Zunächst leiten wir beide Faktoren wieder jeweils einzeln ab:

Die Ableitungen der beiden Funktionen

Mit Hilfe der Produktregel bilden wir jetzt die Ableitung des Produktes:

Die Ableitung des Produkts

Mehrfache Anwendung der Produktregel

Wir können die Produktregel natürlich auch mehrfach anwenden, wenn wir eine Funktion ableiten sollen, die das Produkt von drei oder mehr Funktionen ist. Sehen wir uns beispielsweise diese Funktion an:

Produkt dreier Funktionen

Im ersten Schritt setzen wir Klammen, um zu bestimmen, in welcher Reihenfolge wir die einzelnen Faktoren ableiten:

Produkt dreier Funktionen geklammert

Den ersten Faktor können wir direkt ableiten. Der zweite Faktor – das Produkt in der Klammer – leiten wir wieder über die Produktregel ab:

Einfache Anwendung der Produktregel

Jetzt erhalten wir insgesamt:

Mehrfachanwendung der Produktregel

Die Produktregel wenden wir in der ersten Termumformung an. In den weiteren Termumformungen vereinfachen wir die Formel nur noch.

Potenzen, Potenzgesetze und Potenzregeln

In Potenzen wird ausgedrückt, dass eine Zahl mehrere Male mit sich selbst multipliziert wird. Insbesondere Potenzfunktionen und Polynome spielen in der höheren Schulmathematik eine wichtige Rolle. Es hat daher fundamentale Bedeutung für Schüler, die Potenzregeln auswendig zu lernen und wie im Schlaf zu beherschen. Häufig werden Nullstellen von Polynomen gesucht. Die p-q-Formel und die sogenannte „Mitternachtsformel“ sind einfache Möglichkeiten, diese Nullstellen zu berechnen. Die Formeln werden auch in der fortgeschrittenen Mathematik der Oberstufe benötigt, wenn mit Hilfe von Ableitungen die ersten Optimierungsprobleme gelöst werden. Um Minima und Maxima einer Funktion zu finden, müssen nämlich regelmäßig die Nullstellen von Polynomen ermittelt werden. Damit das Rechnen mit Potenzen in den späteren Klassenstufen nicht zum Hindernis bei der Lösung von Aufgaben wird, sollten die Potenzregeln schon früh geübt und verinnerlicht werden.

Grundlegende Potenzregeln

Formel Bedeutung
Potenz mit dem Exponent 0 Potenz mit dem Exponent 0
Potenz mit dem Exponent 1 Potenz mit dem Exponent 1
Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem ihre Exponenten addiert werden.
Potenzierung von Potenzen Potenzierung von Potenzen: Potenzen werden potenziert, indem alle Exponenten miteinander multipliziert werden.
Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponent Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponent: Potenzen mit gleichem Exponent werden multipliziert, indem die Basen multipliziert werden.
Potenz mit negativem Exponenten Potenz mit negativem Exponenten
Division von Potenzen mit gleicher Basis Division von Potenzen mit gleicher Basis
Potenz deren Exponent das Inverse einer natürlichen Zahl ist Potenz deren Exponent das Inverse einer natürlichen Zahl ist
Potenz deren Exponent ein Bruch ist Potenz deren Exponent ein Bruch ist. (Achtung: wenn n gerade ist, muss a größer als 0 sein!)

Lösungregeln für Terme mit Potenzen

Formel Bedeutung
p,q-Formel p-q-Formel
Die a,b,c-Formel Die a,b,c-Formel, oder auch „Mitternachtsformel“

p-q-Formel – Herleitung und Erklärung

Mit p-q-Formel lassen sich quadratische Gleichungen der Form:

Allgemeine Form einer quadratischen Gleichung

leicht lösen. Die p-q-Formel besagt, dass es maximal zwei Lösungen für solche Gleichungen gibt, und zwar:

Die p-q-Formel in kompakter Form

Die Kombination aus Plus und Minus vor der Wurzel besagt dabei, dass die Wurzel für die eine Lösung addiert und für die andere Lösung subtrahiert werden muss. Ausgeschrieben lauten die beiden Lösungen der p-q-Formel also:

Ausführliche Form der p-q-Formel

Selbstverständlich gibt es auch für die p-q-Formel keine Ausnahme von der Regel, dass unter der Wurzel keine negative Zahl stehen darf (zumindest in der Menge der reelen Zahlen, mit denen Schüler üblicherweise rechnen). Wenn also unter der Wurzel ein negativer Wert entsteht, liefert die p-q-Formel kein Ergebnis. Die quadratische Gleichung hat in diesem Fall keine Lösung.

Beispiele für die p-q-Formel

In unserem ersten Beispiel sehen wir uns diese Formel an:

x^2 + 10 x + 9 = 0

In dieser Gleichung ist das gesuchte p gleich 10 und q ist gleich 9. Eingesetzt in die p-q-Formel ergibt das:

Wir erhalten also als Ergebnis, dass die Gleichung zwei Lösungen hat: -9 und -1.

Im nächsten Beispiel betrachten wir die Gleichung:

3x(x+2)-9 = 0

Diese Gleichung liegt nicht in einer Form vor, dass wir p und q direkt ablesen können. Wir müssen daher zuerst die Klammer ausmultiplizieren. Dadurch erhalten wir die Gleichung in dieser Form:

3x^2 + 6x - 9 = 0

Auch in dieser Form können wir p und q noch nicht direkt ablesen, da vor dem quadratischen Term noch ein Faktor steht. Wir müssen also entweder auf die a-b-c-Formel zurückgreifen oder die Gleichung um 3 kürzen. Da auf der rechten Seite 0 steht ist dies problemlos möglich, und wir erhalten:

Jetzt erhalten wir endlich p = 2 und q = -3. Einsetzen in die p-q-Formel ergibt:

In einem dritten Beispiel sehen wir uns diese Gleichung an:

Hieraus lesen wir p = 2 und q = 5 ab und setzen in die p-q-Formel ein:

An dieser Stelle brechen wir die Berechnung ab, weil unter der Wurzel ein negativer Wert steht. Im Bereich der reelen Zahlen gibt es für die Gleichung keine Lösung. Die quadratische Gleichung hat also keine Nullstelle.

Herleitung der p-q-Formel

Eine quadratische Gleichung in der Form:

Allgemeine quadratische Gleichung

lässt sich nicht so einfach nach x auflösen. Bei der Herleitung der p-q-Formel bedient man sich daher eines Tricks. Es ist nämlich einfach, eine quadratische Gleichung dieser Form nach x aufzulösen:

Eine quadratische Gleichung mit Hilfe der binomischen Formel auflösen

Im zweiten Schritt haben wir die erste binomische Formel angewandt, wodurch es leicht möglich war, x auf der linken Seite zu lassen und alles weitere auf die rechte Seite zu bringen.

Der Trick bei der p-q-Formel besteht nun darin, unsere quadratische Gleichung zuerst in eine Form zu bringen, die uns die Anwendung der ersten binomischen Formel erlaubt. Die Herleitung sieht< so aus:

Herleitung der p-q-Formel

Die binomische Formel haben wir hier im Übergang von der dritten zur vierten Gleichung genutzt. Auf diese Weise war die Herleitung der p-q-Formel einfach.