Formelsammlung Mathe

Folgen

Eine Folge bezeichnet in der Mathematik eine Abbildung der natürlichen Zahlen auf eine (Teil-)menge der reellen Zahlen. In einer Folge wird jeder natürlichen Zahl genau eine reelle Zahl zugeordnet. Diese reellen Zahlen bilden die Glieder der Folge. Sie werden als an bezeichnet für jede natürliche Zahl n. Die gesamte Folgen schreiben wir als (an). Es gilt also:

Allgemeine Darstellung einer Folge

Anders als die Elemente einer Menge haben die Glieder einer Folge eine feste Reihenfolge. Diese ist durch die Zuordnung zu den natürlichen Zahlen vorgegeben. Im Gegensatz zu den Elemente einer Menge kann eine Zahl zudem mehrfach als Glied einer Folge auftreten.

Bildungsgesetz

Häufig folgen die Glieder einer Folge einem vorgegebenen Bildungsgesetz. Ein solches Bildungsgesetz wird in runden Klammern geschrieben, um die Folge zu bezeichnen. Die Folge der Quadratzahlen notieren wir beispielweise so:

Folge der Quadratzahlen

Eine Folge die nur die Zahlen 1 und -1 enthält, kann beispielsweise nach diesem Bildungsgesetz gebildet werden:

Folge von eins und minus-eins

Rekursive Folgen

Im Bildungsgesetz für eine Folge kann auch auf frühere Folgenglieder Bezug genommen werden. Hierfür ist es notwendig, die ersten Glieder der Folge explizit anzugeben. Eine Folge, die auf diese Weise angegeben wird, bezeichnen wir als rekursive Folge. Eine sehr einfache rekursive Folge ist beispielsweise die Folge der geraden natürlichen Zahlen:

Rekursive Folge der geraden natürlichen Zahlen

Die bekannteste rekursive Folge ist sicherlich die Folge der Fibonacci-Zahlen. In der Fibonacci-Folge ist jedes Glied die Summer der beiden vorangegangenen Folgegliedern. Die ersten beiden Glieder werden jeweils als 1 definiert. Ihr Bildungsgesetz lautet:

Fibonacci-Folge

Wichtige Eigenschaften von Folgen

Monotonie von Folgen

Eine Folge gilt als monoton steigend wenn jedes ihrer Folgenglieder größer oder gleich dem vorangegangenen Folgenglied ist. Umgekehrt gilt sie als monoton fallend, wenn jedes Ihrer Folgenglieder kleiner oder gleich dem vorangegangenen ist. Ein Spezialfall der Monotonie ist die Konstanz. Eine Folge gilt als konstant, wenn jedes Folgenglied gleich dem vorangeganen ist.

Ein Beispiel für eine monoton steigende Folge ist:

Monoton steigende Folge

Hier ist jedes Folgenglied entweder genauso groß oder größer als das vorangegangene Glied. (Die eckigen Klammern, bei denen nur der untere Strich gezeichnet ist, sind sogenannte Abrundungsklammern. Sie bewirken, dass eine reelle Zahl auf die nächst kleinere Ganzzahl abgerundet wird.)

Ein weiteres Beispiel für eine monoton steigende Folge ist die Folge der Fibonacci-Zahlen. Bei der Fibonacci-Folge ist sogar jedes Glied größer als das vorangegen und kein Glied ist gleich dem vorangegangem. Solche Folgen bezeichnet man im Gegensatz zu den einfachen monoton steigenden Folgen auch als streng monoton steigend.

Ein Beispiel für eine streng monoton fallende Folge ist:

Streng monoton fallende Folge

Beschränktheit von Folgen

Eine weitere wichtige Eigenschaft einer Folge ist ihre Beschränkheit. Eine Folge gilt genau dann als beschränkt, wenn es zwei Zahlen s und S gibt, so dass jedes Glied der Folge größer oder gleich s und kleiner oder gleich S ist. Es gilt also:

Kriterium für die Beschränkheit einer Folge

Die Zahl s bezeichnet man als „untere Schranke“ der Folge, die Zahl S als „obere Schranke“.

Von den Folgen, die wir bisher kennengelernt haben ist beispielsweise die Folge (-1n) beschränkt. Jedes Glied der Folge ist größer oder gleich -1 und kleiner oder gleich 1. Ebenso ist die Folge (1/n) beschränkt. Hier ist jedes Folgenglied kleiner oder gleich 1 und größer als 0. Dagegen ist beispielsweise die Folge (n2) nicht beschränkt. Sie besitzt keine obere Schranke. Zu jeder Zahl S kann eine Zahl n angegeben werden (z.B. die Wurzel aus S + 1), so dass an größer als S ist.

Konvergenz von Folgen

Wenn es eine Zahl a gibt, so dass für jede beliebig kleine Umgebung um a nur eine endliche Anzahl von Gliedern der Folge (an) gibt, die außerhalb dieser Umgebung liegen, so sagen wird, dass die Folge gegen a konvergiert. Sei ε eine beliebig kleine Zahl, so muss für fast alle Glieder der Folge gelten:

Kriterium für Konvergenz

Diese Bedingung darf nur von einer endlicher Anzahl m von Folgegliedern verletzt werden. Dabei ist es egal ob m gleich 3, 3.000 oder 3 x 1025 ist. Wichtig ist nur, dass m endlich ist.

Die Zahl a, gegen die die Folge konvergiert, bezeichnen wir als ihren Grenzwert. Eine Folge, die nicht konvergiert, bezeichnen wir als „divergent“ (sie „divergiert“).

Die Konvergenz einer Folge wird über das Limes-Zeichen ausgedrückt:

Limes-Zeichen

Das Limes-Zeichen besteht aus „lim“ als Abkürzung für „Limes“ (latein für „Grenze“) und darunter der Angabe „n → ∞“. Es bedeutet: „Der Grenzwert, dem sich die Folge an beliebig weit annähert, wenn n unendlich groß wird.“

Die Folge (1/n) konvergiert beispielsweise gegen 0. Für jede Zahl ε kann eine Zahl Beispiel für Konvergenz angegeben werden, so dass für alle m mit m >= n gilt, dass am kleiner ist als 0 + ε aber größer als 0. In mathematischer Schreibweise:

Konvergenz der harmonischen Folge

Dagegen konvergiert die Folge (n2) nicht, d.h. sie divergiert. Dies können wir leicht daran erkennen, dass sie streng monoton steigt und nach oben unbeschränkt ist. Sie verlässt daher jeden endlichen Bereich nach einer endlichen Anzahl von Schritten. Der Grenzwert dieser Folge ist nicht definiert.

Eine andere divergente Folge ist ((-1)n). Sie ist zwar beschränkt, aber da unendlich viele Glieder dieser Folge gleich 1 und ebenfalls unendlich viele Glieder gleich -1 sind, muss jeder Bereich, der höchsten eine endliche Anzahl von Gliedern nicht enthält, 1 und -1 umfassen. Damit ist er aber nicht mehr beliebig klein.

Wichtige Folgen

Einige Folgen spielen in der Mathematik eine besondere Rolle. Sie werden in diesem Abschnitt vorgestellt.

Arithmetische Folge

Eine arithmetische Folge ist eine Folge, in der je zwei aufeinander folgenden Folgeglieder denselben Abstand haben. Für jedes n > 1 gilt also:

Abstand der Glieder in einer arithmetischen Folge

Im allgemeinen lautet das das Bildungsgesetzt für arithmetische Folgen:

Allgemeines Bidlungsgesetz für arithmetische Folgen

Eine arithmetische Folge ist streng monoton steigend, wenn c > 0 ist. Ist c < 0, ist sie streng monoton fallend. Falls c = 0 ist, ist sie konstant.

Die einfachste arithmetische Folge ist die Folge der natürlichen Zahlen. Bei ihr ist c = 1 und b = 0:

Folge der natürlichen Zahlen

Die folge der natürlichen Zahlen ist (selbstverständlich) streng monoton steigend.

Ein Beispiel für eine streng monoton fallende Folge ist die Folge der negativen geraden Ganzzahlen kleiner als -10. Wir erhalten sie mit c = -2 und b = -10:

Beispiel für eine streng monoton fallende Folge

Geometrische Folge

Eine geometrische Folge zeichnet sich dadurch aus, dass die Quotienten von je zwei aufeinanderfolgenden Glieder gleich sind:

Verhältnis der Glieder in einer geometrischen Folge

Das allgemeine Bildungsgesetzt geometrischer Folgen lautet:

Allgemeines Bildungsgesetz geometrischer Folgen

Vorausgesetzt c ist positiv, so ist eine geometrische Folge für q > 1 streng monoton steigend und für 0 <= q < 1 streng monoton fallend. Ist q = 1, so hat die Folge den konstanten Wert c, ist q = 0, den konstanten Wert 0.

Ist q < 0, so ändert sich das Vorzeichen der Glieder mit jedem Schritt. Auf ein Folgenglied mit positivem Vorzeichen folgt eines mit negativen Vorzeichen und umgekehrt. Eine Folge mit dieser Eigenschaft wird als „alternierend“ bezeichnet.

Ein Beispiel für eine geometrische Folge ist die Folge der Exponenten von 2. Bei ihr ist c = 2 und q = 2:

Geometrische Folge der Exponenten von 2

Diese Folge ist streng monoton steigend.

Ein Beispiel für eine streng monoton fallenden geometrische Folge erhalten wir mit c = 32 und q = 1/2:

Streng monoton fallende geometrische Folge

Mit c = 1 und q = -3 erhalten wir eine alternierende Folge:

Alternierende geometrische Folge