Formelsammlung Mathe

Summenzeichen

Das Summenzeichen (auch als „Summationszeichen“ oder „Summationssymbol“ bezeichnet) wird verwendet, wenn wir eine Summe über endlich oder unendlich viele Glieder einer Reihe bilden wollen, wobei der Wert der Glieder von einer Variablen abhängt. Eine Summe wird mit dem Summenzeichen in dieser Weise geschrieben:

Summenzeichen

Zu dem Summenzeichen gehören verschiedene Bestandteile, die oben farblich markiert sind:

Wenn die Summe wie oben mit Start- und Endwert geschrieben ist, nimmt die Laufvariable den Wert jeder ganzen Zahl zwischen dem Start- und dem Endwert ein (inklusive Startwert und Endwert). Für jeden ihrer Werte wird genau ein Summand addiert. Ein Beispiel für solch eine Summe ist die Summe aller Quadrate der ganzen Zahlen zwischen eins und fünf:

Beispiel für das Summenzeichen: Die Summe aller Quadrate der ganzen Zahlen von eins bis fünf

Die Laufvariable ist hier i, der Startwert 1, der Endwert 5 und die Summanden werden über die Funktion i2 gebildet, wobei i alle Werte von eins bis fünf einnimmt.

Rechenregeln für das Summenzeichen

Das Summenzeichen ist eine verkürzende Schreibweise für Summen. Deshalb können wir einzelne Summanden aus dem Summenzeichen herausnehmen und einzeln notieren:

Summanden ausgehend vom Endwert aus dem Summenzeichen herausnehmen

Hier wurde im ersten Schritt der Summand an aus dem Summenzeichen herausgenommen und einzeln notiert. Der Endwert wurde dafür um eins veringert. Danach wurde auch der Summand an-1 aus dem Summenzeichen herausgenommen. Der Endwert wurde dafür noch einmal um eins verringert. Im letzten Schritt wurden alle Summanden aus dem Summenzeichen herausgenommen.

Natürlich können wir nicht nur vom Endwert ausgehen, um Summanden einzeln zu notieren, sondern auch vom Startwert. Dabei muss der Startwert entsprechend angepasst werden:

Summanden ausgehend vom Startwert aus dem Summenzeichen herausnehmen

Wir können eine Summe auch in mehrere Teilsummen aufteilen:

Summen aufteilen

So können wir auch Summanden für Laufwerte zwischen Start- und Endwert einzeln notieren:

Innere Summanden lassen sich ebenfalls einzeln schreiben

Summen über konstante Summanden

Manchmal kommt es vor, dass die einzelnen Summanden gar nicht vom Wert der Laufvariable abhängen. ai ist dann gleich einer Konstante c. In diesen Fällen können wir die Summe einfach berechnen, indem wir den Wert der Konstante mit der Anzahl der Summanden multiplizieren. Die Anzahl der Summanden in einer Summe entspricht der Differenz zwischen Endwert und Startwert plus eins:

Summe über konstante Summanden

Das sieht beispielsweise so aus:

Beispiel für eine Summe über konstante Summanden

Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz besagt, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge die Summanden einer Summe aufsummiert werden. Dies können wir uns zunutze machen, wenn die Summanden selbst wieder Summen enthalten:

Anwendung des Assoziativgesetz auf das Summenzeichen

Distributivgesetz

Das Distributivgesetz besagt, dass es egal ist, ob man zuerst jeden Summanden mit einem Faktor multipliziert und danach die Summe der Produkte bildet, oder ob man zuerst die Summanden addiert und anschließend die Summe mit dem Faktor multipliziert. Dies gilt natürlich auch für das Summenzeichen. So können wir Faktoren aus den Summanden ausklammern und vor das Summenzeichen schreiben:

Anwendung des Distributivgesetz auf das Summenzeichen

Indexverschiebung

Die Laufvariable nimmt alle Werte zwischen Startwert und Endwert ein und wird in die Summanden eingefügt. Wir können den Startwert und den Endwert jeweils um denselben Betrag erhöhen oder veringern. Wenn wir den Wert, den wir in die Summanden einsetzen, um denselben Betrag mit umgekehrten Vorzeichen anpassen, erhalten wir weiterhin dieselbe Summe. Falls wir also beispielsweise Start- und Endwert jeweils um drei erhöhen, müssen wir von der Laufvariablen drei abziehen, bevor wir sie im Summanden einsetzen:

Indexverschiebung: Allgemeines Vorgehen

Wie die Indexverschiebung funktioniert versteht man am besten, wenn man sich ein Beispiel dazu ansieht:

Beispiel für die Indexverschiebung

Die Indexverschiebung ist besonders dann praktisch, wenn wir zwei Summen addieren möchten, bei denen Startwert und Endwert um denselben Betrag voneinander abweichen:

Anwendung der Indexverschiebung

Spezielle Notationsformen

Die Art in der das Summenzeichen geschrieben wird, kann manchmal von der oben aufgeführten Form abweichen. Zwei Spezialfälle wollen wir hier betrachen: Summen über Summen und Summen über Indexmengen.

Zwei Laufvariablen: Summen über Summen

Es kommt immer mal wieder vor, das in einer Rechnung Summen über Summen gebildet werden, so dass zwei Summenzeichen direkt hintereinander stehen. Diese Summenzeichen lassen sich zusammenfassen, indem man beide Laufvariablen an einem Summenzeichen notiert:

Zwei Laufvariablen an einem Summenzeichen

Unterhalb des Summenzeichen werden beide Laufvariablen mit ihrem jeweiligen Startwert notiert, darüber beide mit ihrem jeweiligen Endwert. Um deutlich zu machen, welcher Endwert zu welcher Laufvariable gehört, muss die jeweilige Laufvariable explizit angegeben werden.

Wenn wir also ein Summenzeichen mit zwei Laufvariablen haben, so bedeutet dies, dass sie Summe über alle Kombinationen von möglichen Werten der Laufvariablen gebildet werden:

Beispiel für zwei Laufvariablen an einem Summenzeichen

Summen über Indexmengen

Bis jetzt haben wir nur Summen betrachtet, bei denen die Indexwerte aus einer kontinuierlichen Abfolge ganzer Zahlen stammen. Manchmal möchte man jedoch über andere Mengen summieren. In diesem Fall werden die Laufvariable und die Menge unterhalb des Summationszeichens notiert. Der Endwert entfällt hierbei. Sei A eine Menge, so wird eine Summe über Indizees aus A so dargestellt:

Summe über eine Indexmenge

Die Summe der Wurzeln aus 16, 81 und 144 kann beispielsweise so notiert werden:

Beispiel für eine Summe über eine Indexmenge

Ein anderes Beispiel ist die Summe aller Teiler von 60:

Beispiel für eine Summe über eine kokmplexere Indexmenge

(Die Menge unterhalb des Summenzeichen ist folgendermaßen zu Verstehen: „Alle natürlichen Zahlen n mit der Eigenschaft, dass es irgendeine natürliche Zahl m gibt, so dass n mal m gleich sechzig ist.“)