Formelsammlung Mathe

Gaußsche Summenformel

Mit der Gaußschen Summenformel lässt sich die Summe aller natürlichen Zahlen bis zu einer Obergrenze n berechnen. Sie lautet:

Gaußsche Summenformel

Wir können sie beispielsweise anwenden, um die Summe aller Zahlen von 1 bis 10 zu berechnen. Auf direktem Wege berechnen wir die Summe als:

Direkte Berechnung der Summe von 1 bis 10

Mit Hilfe der Gaußschen Summenformel vereinfacht sich die Berechnung zu:

Direkte Berechnung der Summe von 1 bis 10

Die Gaußsche Summenformel ist nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) benannt.

Herleitung der Gaußschen Summenformel

Wie sich die Gaußsche Summenformel herleiten lässt, können wir erkennen, indem wir beispielsweise die Summe der Zahlen von 1 bis 100 bilden.

Hierfür erstellen wir eine Tabelle. In der ersten Spalte notieren wir die Zahlen von 1 bis 50 in aufsteigender Reihenfolge, in der zweiten Spalte die Zahlen von 100 bis 51 in absteigender Reihenfolge. Somit stehen in den ersten beiden Spalten alle natürlichen Zahlen von 1 bis 100.

Nun notieren wir noch in der dritten Spalte die Summe der Zahlen in den ersten beiden Spalten derselben Reihe. Die gesuchte Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis 100 entspricht dann der Summe aller Zahlen in der dritten Spalte.

Insgesamt erhalten wir die folgende Tabelle:

1100101
299101
398101
497101
596101
4655101
4754101
4853101
4952101
5051101

Wir wir sehen ist der Wert in der dritten Spalte jeder Zeile der Tabelle derselbe. Insgesamt hat die Tabelle 50 Zeilen. Die gesuchte Summe lässt sich leicht berechnen: 50 x 101 = 5050

Wir können dieses Ergebnis verallgemeinern. Sei n gerade und die Zahl, bis zu der wir die Summe bilden wollen, so steht in der dritten Spalte jeder Zeile der Wert: n + 1. Insgesamt gibt es n/2 Zeilen. Das Produkt aus der Anzahl der Zeilen und der Summen in der letzten Spalte ist: Gaußsche Summenformel - inline.

Für ungerade n berechnen wir die Summe der natürlichen Zahl bis n-1 und addieren n:

Gaußsche Summenformel für ungerade n

Beweis der Gaußschen Summenformel per vollständiger Induktion

Wir können die Gaußsche Summenformel auch per vollständiger Induktion beweisen.

Im Induktionsbeginn beweisen wir, dass sie für n=1 gilt.

Induktionsbeginn Gaußsche Summenformel

Nun treffen wir die Induktionsannahme, dass sie für ein beliebiges n’ gilt:

Induktionsannahme Gaußsche Summenformel

Und zeigen, dass wir daraus herleiten können, dass sie auch für n’ + 1 gilt:

Induktionsschritt Gaußsche Summenformel

Die Induktionsannahme haben wir im ersten Schritt genutzt, um den blau markierten Teil der Formel umzuwandeln.

Der Induktionsschritt ist unter der Induktionsannahme gültig. Damit ist die Gaußsche Summenformel per vollständiger Induktion bewiesen.