Formelsammlung Mathe

Prozentrechnung

Unter der Prozentrechnung versteht man das Rechnen mit Prozenten. Die Prozente geben hierbei das Verhältnis zweier Größen in Hundertsteln an. Grundlegend für die Prozentrechnung sind in allen Formeln die Begriffe Prozentsatz, Prozentwert und Grundwert. Bei jeder für die Prozentrechnung wichtige Formel spielen sie eine Rolle. Nach einigen Formeln, die die Verwendung des Prozentzeichens veranschaulichen, werden die Formeln für die Grundbegriffe des Prozentrechnens dargestellt.

Grundlagen der Prozentrechnung

Das Prozentzeichen entspricht der Division durch Hundert. Die Angabe „x Prozent“ kann deshalbt auch als „x Hundertstel“ verstanden werden Die folgenden Formeln veranschaulichen die Verwendung des Prozentzeichens:

Ein Prozent

Hundert Prozent

Vierzig Prozent

Beliebiege Prozentzahl

Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert

Die Begriffe Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert liegen allen Formeln der Prozentrechnung zu Grunde. Prozentwert und Grundwert haben dabei stets dieselbe Einheit, während der Prozentsatz eine einfache Zahl ist. Die folgenden Formeln veranschaulichen den Zusammenhang dieser drei Begriffe:

Prozentsatz

Berechnung des Prozentwerts

Berechnung des Grundwerts

Achtung: Das Prozentzeichen darf nicht mit einer Einheit wie „Meter“ oder „Gramm“ verwechselt werden. Die Multiplikation, bzw. Division mit 100% in den obigen Formeln dient nur der Veranschaulichung. Da 100% = 1 ist, ändert sie nichts am Ergebnis.

Einge Beispielrechnungen sollen die Verwendung der Formeln zur Prozentrechnung verdeutlichen:

Berechnung des Prozentsatzes

Der Prozentsatz gibt das Verhältnis von Prozentwert zu Grundwert in Prozent an. Er wird berechnet, indem der Prozentwert durch den Grundwert geteilt und mit 100 Prozent multipliziert wird.

Angenommen es soll berechnet werden, wie viel Prozent vier Kilogramm von 20 Kilogramm sind. Die vier Kilogramm entsprechen hier dem Prozentwert, die 20 Kilogramm dem Grundwert. Der Prozentsatz berechnet sich folgendermaßen:

Beispiel für den Prozentsatz

Berechnung des Prozentwertes

Der Prozentwert gibt an wie viel der durch den Prozentsatz bestimmte Teil einer Menge wert ist, deren Grundwert bekannt ist. Er wird berechnet, indem Grundwert und Prozentsatz multipliziert und durch einhundert Prozent dividiert werden.

Gehören zum Beispiel Herrn Müller 23 Prozent eines Grundstückes und das Grundstück ist 500.000 Euro Wert, so kann er berechnen, wie viel sein Anteil des Grundstückes Wert ist. Die 23 Prozent bilden den Prozentsatz. Die 500.000 Euro den Grundwert. Der Wert seines Anteils entspricht dem Prozentwert. Diesen berechnet er so:

Beispiel für den Prozentwert

Berechnung des Grundwertes

Wenn der Wert eines Anteils (Prozentwert) und die Größe dieses Anteils im Verhältnis Gesamtmenge (Prozentsatz) bekannt sind, gibt der Grundwert den Wert der Gesamtmenge an. Der Grundwert wird berechnet, indem der Prozentwert durch den Prozentsatz geteilt und mit einhundert Prozent multipliziert wird.

Fährt man beispielsweise mit dem Auto auf der A7 von Hamburg über Hannover nach Ulm, so beträgt die Strecke von Hamburg nach Hannover etwa 160 Kilometer. Dies entspricht etwa 23 Prozent der Gesamtstrecke. Wie weit ist die Fahrt von Hamburg nach Ulm insgesamt? Die Strecke von Hamburg nach Hannover ist ein Teil der Gesamtstrecke und entspricht damit dem Prozentwert. Ihr Verhältnis zur Gesamtstrecke (23 Prozent) sind der Prozentsatz. Die Gesamtstrecke nach Ulm entsprechen dem Gesamtwert

Beispiel für den Grundwert

Anwendung der Prozentrechnung

Prozentrechnung ist vor allem dort wichtig, wo die Größe einer Teilmenge ins Verhältnis zur Gesamtmenge gesetzt wird. Ein Beispiel hierfür sind Wahlergebnisse, die immer in Prozent angegeben werden. So sagt man beispielsweise, dass bei der Bundestagswahl 2017 11,7 Prozent aller Wahlberechtigten in Hamburg und 9 Prozent aller Wahlberechtigten in Bayern den Grünen ihre Erststimme gegeben haben.

Würde man dagegen absolute Zahlen angeben, könnte man sagen, dass die Grünen in Hamburg 114.485 Erststimmen und in Bayern 661.356 Erststimmen bekommen haben. Auf diese Weise wären die Ergebnisse aber schlecht vergleichbar. Auf den ersten Blick sieht es so aus, als ob das Ergebnis der Grünen in Bayern beinahe sechsmal so gut war wie in Hamburg. Die Ergebnisse lassen sich aber erst richtig vergleichen, wenn man sie ins Verhältnis zur Gesamtzahl der Wähler in beiden Bundesländern setzt (1.296.656 in Hamburg und 9.522.371 Bayern).

In den prozentualen Wahlergebnissen ist die absolute Zahl der Stimmen schon ins Verhältnis zur Gesamtzahl der Wähler gesetzt. Die prozentualen Wahlergebnisse für verschiedene Regionen oder in verschiedenen Wahlen sind so viel einfacher zu vergleichen. Hierbei entspricht das prozentuale Wahlergebnis dem Prozentsatz, die absolute Zahl der Stimmen dem Prozentwert und die Gesamtheit aller Wähler dem Grundwert.

Verschiedene Beispiele zur Prozentrechnung

Steigung: Von Straßen oder Schienen sagt man manchmal, sie würden um einen bestimmten Prozentsatz steigen. In diesem Fall gibt die Prozentangabe das Verhältnis des vertikalen Höhenunterschieds (h) zur horizontal zurückgelegten Strecke (s) an. Die Formel hierfür lautet:

Formel für die Steigung

Beträgt die Steigung also 7,5 % und werden 1,5 Kilometer zurückgelegt, beträgt der Höhenunterschied (h) demnach:

Beispiel für die Steigung

Während der Fahrt über 1,5 Kilometer wurden also 112,5 Höhenmeter überwunden.

Gehaltsteigerung

Wenn das Gehalt von einem auf das nächste Jahr um 5 Prozent steigt, bedeutet dies, dass das neue Gehalt 105 Prozent des alten entspricht. Es wird folgendermaßen berechnet:

Beispiel für Gehaltsteigerung

Für die Berechnung einer Steigerung um einen bestimmten Prozentsatz, muss man diesen Prozentsatz zu hundert addieren und mit dem Grundwert multiplizieren.

Erhöhung und Senkung um denselben Prozentsatz

Ein häufiger Irrtum im Rechnen mit Prozenten entsteht, wenn mehrere zeitliche Änderungen in Prozentsätzen angegeben werden. Hierbei wird fälschlicherweise der Prozentsatz häufig nur auf den ersten Wert angewendet. Tatsächlich muss die Prozentangabe aber immer auf den aktuellen Wert angewendet werden. Spricht man beispielsweise davon, dass der Preis für eine Wahre erst um 10 Prozent steigt und danach um 10 Prozent sinkt, ist er hinterher entgegen der Intuition nicht wieder derselbe. An einer einfachen Beispielaufgabe wird dies schnell ersichtlich. Der ursprüngliche Preis P0 beträgt hier 40 Euro. Er steigt zunächst um 10 Prozent und beträgt danach:

Erste Preissteigerung

Wenn der Preis wieder um zehn Prozent sinkt, beträgt er:

Preissenkung

Wie man sieht ist der Preis nach der Senkung um 10 Prozent um 40 Cent niedrieger als der ursprüngliche Preis.

Verschiedene Prozentsätze

Ein weiteres häufiges Missverständnis entsteht, wenn mehrere Prozentsätze in derselben Rechnung verwendet werden. Nehmen wir beispielsweise an, der Frauenanteil in einem Unternehmen betrug bisher 10 Prozent. Nach einigen Maßnahmen von Seiten der Personalabteilung, beträgt er heute 20 Prozent. Dann ist der Anteil der Frauen einerseits um 10 Prozent gesteigen, andererseits ist die absolute Zahl der Mitarbeiterinnen um 100 Prozent gestiegen. Die beiden Prozentangaben dürfen nicht verwechselt werden. Zur besseren Unterscheidung spricht man deshalb davon, dass der Anteil um 10 Prozentpunkte gestiegen sei.

Wie lernt man Prozentrechnen am besten?

Nicht nur für die Schule, sondern vor allem auch für den praktischen Alltag ist es wichtig, die für die Prozentrechnung wichtigsten Formeln auswendig zu kennen und sicher zu beherrschen. Wie die Beispiele, die oben genannt wurden, zeigen, spielt das Rechnen mit Prozenten in vielen praktischen Bereichen eine wichtige Rolle. Immer wieder kann man mit der Prozentrechnung Aufgaben lösen, die sich ansonsten als äußerst schwierig darstellen. Da Zeitungen und anderen Medien sehr häufig wichtige Daten in Prozenten angeben, ist zudem wichtig, dass man für ihre Prozentrechnung eine Erklärung hat. Wenn man die Daten nämlich erst einmal hinterfragt, stellen sie sich häufig als mangelhaft oder bei weitem nicht so aussagekräftig dar, wie es die Medien gerne verbreiten. Auch für käufmännische Berufe ist diese Art der Rechnung von Bedeutung. Unter anderem basiert die gesamte Zinsrechnung auf dem Rechnen in Hundertstel. Schüler, die sich für solche Berufe interessieren sollten schon früh die Prozentrechnung mit Excel üben, da dies das bei weitem wichtigste Hilfsmittel im kaufmännischen Büro ist. Schließlich ist festzuhalten, dass auch bei der Prozentrechnung nur Übungen weiterhelfen, sie sicher zu beherrschen.