Formelsammlung Mathe

Kettenregel - Erklärung und Anwendung

Die Kettenregel für Ableitungen besagt, wie verknüpfte Funktionen abgeleitet werden. Sie lautet:

Die Kettenregel

Verknüpfte Funktionen werden also abgeleitet, indem man zuerst die Ableitung der äußeren Funktion bildet, in diese Ableitung die innere Funktion unverändert einsetzt und anschließend das Ergebnis noch einmal mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert. In Kurzform kann man sich die Kettenregel merken als: „Innere Ableitung mal äußere Ableitung“.

Anwendungen und Beispiele für die Kettenregel

Sehen wir uns als ersten Beispiel diese Funktion an:

Erstes Beispiel für die Kettenregel: Ausgangsfunktion

In dieser Funktion sind zwei Funktionen verknüpft:

Erstes Beispiel für die Kettenregel: Verknüpfte Funktionen

Dabei ist f die äußere und g die innere Funktion. Um die Ableitung von h zu bilden, leiten wir zunächst f und g einzeln ab:

Erstes Beispiel für die Kettenregel: Ableitungen der beiden verknüpften Funktionen

Jetzt bilden wir die Ableitung von h, indem wir g in f’ einsetzen und das Ergebnis mit g’ multiplizieren:

Erstes Beispiel für die Kettenregel: Anwendung der Kettenregel

Als nächstes sehen wir uns diese Funktion an:

Zweites Beispiel für die Kettenregel: Abzuleitende Funktion

Wieder liegen hier zwei verknüpfte Funktionen vor. Es sind:

Zweites Beispiel für die Kettenregel: Die beiden verknüpften Funktionen

Und wir bilden zunächst wieder die Ableitungen dieser beiden Funktionen:

Zweites Beispiel für die Kettenregel: Ableitungen der verknüpften Funktionen

Einsetzen in die Kettenregel ergibt:

Zweites Beispiel für die Kettenregel: Anwendung der Kettenregel

Mehrfache Anwendung der Kettenregel

Wenn mehr als nur zwei Funktionen verkettet werden, ist es notwenig, die Kettenregel mehrfach anzuwenden. Wenn wir uns allerdings an Vorgehen halten, das oben gezeigt wird, ist das kein Problem. Betrachten wir als Beispiel den Ausdruck:

Komposition mehrerer Funktionen

Wie sehen uns zunächst an, aus welchen Funktionen dieser Ausdruck zusammengesetzt ist:

Mehrfach verknüpfte Funktionen - einzeln

Insgesamt gilt also:

Mehrfach verknüpfte Funktion - Schema

Um diesen Ausdruck abzuleiten, bilden wir als erstes die Ableitungen der drei verknüpften Funktionen:

Ableitungen mehrfach verknüpfter Funktionen

Wir leiten den Ausdruck jetzt „von außen nach innen“ ab. Mit der Kettenregel gilt:

Mehrfache Anwendung der Kettenregel - Schema

In diese Gleichung setzen wir die verknüpften Funktionen und ihre Ableitungen ein:

Mehrfache Anwendung der Kettenregel - Beispiel