Formelsammlung Mathe

Funktionen

Als Funktion f, bzw. „Abbildung“, bezeichnen wir in der Mathematik eine Vorschrift f, die jedem Element x aus einer Menge M genau ein Element f(x) in einer zweiten Menge N zuordnet. Die Menge M heißt Definitionsbereich, die Menge N Wertebereich von f. x wird als Argument oder Urbild bezeichnet, f(x) als Bild.

Die „Vorschrift“ für die Zuordnung kann verbal gegeben werden. Falls M und N jeweils Menge der reellen Zahlen (die Menge der reellen Zahlen) ist, so könnte sie lautet: „Ordne jeder Zahl x die Zahl zu, die genau doppelt so groß wie x ist“. Die verbale Angabe ist in der Regel aber zu umständlich oder ungenau. Funktionen werden deshalb üblicherweise über eine Rechenvorschrift definiert. Die eben genannte Zuordnung würden wir beispielsweise so notieren:

Beispiel für die Funktionsdefinition

Diese Funktionsdefinition wird so gelesen: „Die Funktion f ist eine Abbildung der reellen Zahl auf reelle Zahlen. Sie ordnet jeder reellen Zahl x die reelle Zahl f(x) = 2x zu.“

Wichtige Rechenregeln für Funktionen

FormelBedeutung
FunktionsverkettungFunktionsverkettung
Umkehrfunktionf-1 ist die Umkehrfunktion von f
Surjektive Funktionf ist surjektiv
Bedingung für injektive Funktionenf ist injektiv

(In den Regeln für surjektive und bijektive Funktionen ist M der Definitionsbereich und N der Wertebereich.)

Definitionsbereich

Die Menge M der Zahlen, denen f eine Zahl aus N zuordnet, wird als „Definitionsbereich“ bezeichnet. Wir sagen, die Funktion sei für diese Menge definiert. Im oben genannten Beispiel war der Definitionsbereich als Menge der reellen Zahlen (die Menge der reellen Zahlen) angegeben. Sie ordnet also beispielsweise den Zahlen 2, 6/11, aber auch -3,141 und „Wurzel aus 5“ einen Wert zu. Hätten wir den Definitionsbereich als Menge der natürlichen Zahlen (Menge der natürlichen Zahlen) angegeben, so dürften wir die Funktion nur auf natürliche Zahlen anwenden. Beispielsweise wäre der Wert von f(3/4) dann nicht mehr definiert (obwohl die Rechenvorschrift natürlich auch für 3/4 ein sinnvolles Ergebnis ergibt).

In der Regel wird der Definitionsbereich einer Funktion aber nur eingegrenzt, wenn wir eine Rechenvorschrift haben, die auf bestimmte Zahen nicht angewandt werden darf. Ein Beispiel für eine solche Rechenvorschrift ist:

Rechenvorschrift für 1/x

In diese Rechenvorschrift dürfen wir für x die Zahl 0 nicht einsetzen, weil 1 (wie jede andere Zahl auch) nicht durch 0 geteilt werden darf. Wollen wir eine Funktion mit dieser Rechenvorschrift definieren, so müssen wir die 0 explizit aus dem Definitionsbereich entfernen. Eine zulässige Funktionsdefinition wäre beispielsweise:

Funktion für 1/x

Wenn sich der Definitionsbereich einer Funktion aus dem Kontext ergibt, wird er manchmal nicht noch einmal extra angegeben. Zu einer vollständigen Funktionsdefinition gehört er aber unbedingt dazu.

Wertebereich

Die Menge N, aus der die Werte von f(x) stammen, heißt Wertebereich von f. Es ist nicht notwendig, dass es zu jedem Element y aus N eine Zahl x mit f(x) = y gibt. Das heißt, nicht jeder Wert aus dem Wertebereich muss auch tatsächlich als Wert der Funktion auftreten. Allerdings müssen wir sicherstellen, dass jeder Wert f(x) tatsächlich im Wertebereich der Funktion liegt, da die Funktionsdefinition ansonsten falsch ist.

Beispiel: Das doppelte einer reellen Zahl ist immer eine reelle Zahl, aber nicht in jedem Fall eine rationale Zahl. Eine rationale Zahl, ist eine Bruchzahl, z.B. einhalb, eine reelle Zahl ist Wurzel aus Zwei und auch Zwei mal Wurzel aus Zwei. Angenommen wir haben nun die Rechenvorschrift f(x) = 2x und nehmen als Definitionsbereich die reellen Zahlen. In diesem Fall dürfen wir nicht die rationalen Zahlen als Wertebereich wählen. Das Ergebnis von f angewandt auf Wurzel aus Zwei würde dann nämlich nicht mehr im Wertebereich liegen. Das wäre unzulässig.

Wenn wir für diese Funktion die reellen Zahlen als Definitionsbereich wählen, so muss auch der Wertebereich die Menge der reellen Zahlen sein. Wählen wir aber die Menge der rationalen Zahlen, d.h. der Bruchzahlen, als Definitionsbereich, so können wir den Wertebereich auch auf die rationalen Zahlen einschränken, da das doppelte einer rationalen Zahl immer eine rationale Zahl ist.

Wertetabelle

Eine Wertetabelle gibt einen Überblick über ausgewählte Funktionswerte. Wir erhalten eine Wertetabelle für eine Funktion f, indem wir in die linke Spalte einer Tabelle einen Wert für x und in der rechten Spalte den dazugehörigen Wert für f(x) eintragen. Es gibt keine Vorschrift, die besagt, für welche Werte eine Wertetabelle gebildet werden soll. So viele Möglichkeiten es gibt, Werte aus dem Definitionsbereich zu wählen, so viele mögliche Wertetabellen gibt es. Man kann daher immer nur von einer und nicht von der Wertetabelle einer Funktion sprechen.

Eine Wertetabelle für die Funktion f(x) = x2 könnte beispielsweise so aussehen:

xf(x)
-416
-39
-24
-11
-0,50,25
00
0,50,25
11
24
39
416

Mehrstellige Funktionen

Bisher haben wir Funktionen kennengelernt, deren Definitionsbereich aus einer einfachen Menge von Zahlen besteht. Es ist allerdings auch möglich, dass der Definitionsbereich aus dem Kreuzprodukt zweier oder mehrerer Mengen besteht. In diesem Fall hat unsere Rechenvorschrift zwei oder mehr Argumente. Ein Beispiel für eine solche Funktion ist:

Beispiel für zweistellige Funktion

Diese Funktion bildet Paare ganzer Zahlen auf einen Bruch ab.

Ein Beispiel für eine fünfstellige Funktion ist:

Beispiel für eine fünfstellige Funktion

Funktionen verketten

Angenommen, wir haben zwei Funktionen f und g. Nun können wir eine neue Funktion h definieren als die Abbildung, die entsteht, wenn wir zuerst g auf das Argument anwenden und auf das Ergebnis noch einmal f. h ist also über diese Rechenvorschrift definiert:

Einfache verkettete Funktionen

In diesem Fall sprechen wir von einer Funktionsverkettung, die wir über ein Kreissymbol ausdrücken:

Funktionsverkettung

Bei der Funktionsverkettung müssen wir sicherstellen, dass nur zulässige Werte als Argumente von f auftreten. Das bedeutet, der Wertebereich von g muss eine Teilmenge des Definitionsbereiches von f sein.

Angenommen, g sei als eine Abbildung der Menge A auf die Menge B definiert und f als eine Abbildung der Menge C auf D, so muss sichergestellt sein, dass B eine Teilmenge von C ist. In diesem Fall ist h eine Abbildung von A auf D.

Umkehrfunktion

Eine Funktion g mit der Eigenschaft g(f(x)) = x bezeichnen wird als Umkehrfunktion von f. Eine Umkehrfunktion hebt die Wirkung einer Funktion auf. In der Mathematik bezeichnen wir die Umkehrfunktion zu f als f-1 und es gilt:

Umkehrfunktion in mathematischer Notation

Jede Funktion ist selbst wieder die Umkehrfunktion zu ihrer Umkehrfunktion. Es gilt also:

Umkehrfunktion der Umkehrfunktion

und

Reihenfolge der Verkettung von Umkehrfunktion und Funktion

Es gibt nicht zu jeder Funktion eine Umkehrfunktion. Damit eine Umkehrfunktion definiert ist, muss nämlich die Abbildung zwischen Abbild f(x) und Argument x einer Funktion eindeutig sein. Die Funktion muss also injektiv sein.

Beispiel: Wenn die Quadratfunktion folgendermaßen definiert ist, besitzt sie keine Umkehrfunktion:

Quadratfunktion über positive und negative reelle Zahlen

Zu jedem Wert f(x) (außer 0) gibt es nämlich zwei mögliche Argumente x, die auf diesen Wert abgebildet werden. So wird f(x) = 4 durch 2 und -2 erzeugt, 9 durch 3 und -3, 16 durch 4 und -4 usw. Wir können also keine Funktion definieren, die jedem Bild ein eindeutiges Urbild zuordnet.

Damit die Quadratfunktion eine Umkehrfunktion erhält, müssen wir ihren Definitionsbereich auf die Menge der positiven reellen Zahlen Die Menge der positiven reellen Zahlen einschränken:

Quadratfunktion über positive reelle Zahlen

Jetzt ist das 2 das einzige Urbild von 4, 3 von 9, 4 von 16 usw. Negative Zahlen kommen als Urbilder nicht mehr vor, da sie nicht zum Definitionsbereich von f gehören.

Die Umkehrfunktion von f ist:

Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der Quadratfunktion

Es gilt nämlich:

Wurzelfunktion auf Quadratfunktion angewandt

Auch der Definitionsbereich der Umkehrfunktion f-1 musste auf die Menge der positiven reellen Zahlen eingeschränkt werden. Negative Zahlen kommen nicht als Bilder der Quadratfunktion vor. Sie dürfen daher auch nicht als Argumente der Umkehrfunktion erscheinen.

Surjektive Funktionen

Wir haben oben gesagt, dass nicht jedes Element aus dem Wertebereich auch tatsächlich als Wert f(x) einer Funktion vorkommen muss. Funktionen bei denen dies dennoch so ist, bezeichnen wir als surjektive Funktionen. Mit anderen Worten:

Eine Funktion ist surjektiv, wenn es zu jedem Element y aus ihrem Wertebereich N ein Element x aus ihrem Definitionsbereich gibt, so dass y = f(x) ist.

Mathematisch können wir dies so ausdrücken:

Bedingung für surjektive Funktionen

Injektive Funktionen

Es gibt Funktionen, die mehrere Argumente auf denselben Wert abbilden. Andererseits gibt es Funktion, die jeweils nur ein Argument auf einen Wert abbilden. Solche Funktionen bezeichnen wir als injektive Funktionen. Mit anderen Worten:

Eine Funktion f ist injektiv, wenn aus der Tatsache, dass f(u) gleich f(v) ist folgt, dass u gleich v ist, bzw. wenn verschiedene Argument u und v immer auf verschiedene Werte f(u) und f(v) abgebildet werden.

Mathematisch können wir dies so ausdrücken:

Bedingung für injektive Funktionen

Bijektive Funktionen

Ein Funktion gilt als bijektiv, wenn sie sowohl surjektiv als auch injektiv ist. In diesem Fall stellt sie eine ein-eindeutige Beziehung zwischen den Elementen ihres Definitionsbereiches und ihres Wertebereiches dar: Jedem Element aus dem Wertebereich ist genau ein Element aus dem Definitionsbereich zugeordnet.