Eine Reihe ist in der Mathematik eine Summe über die Glieder einer Folge. Die Reihe über die ersten n Glieder einer Folge (an) wird als sn bezeichnet. Mathematisch werden Reihen über das Summenzeichen notiert und es gilt:
Einige wichtige Reihen in der Mathematik sind:
| Formel | Bedeutung |
|---|---|
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Gaußsche Summenformel |
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Arithmetische Reihe |
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Geometrische Reihe |
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Unendliche geometrische Reihe für -1 < q < 1 |
Endliche und unendliche Reihen
Wir unterscheiden zwischen endlichen und unendlichen Reihen, je nachdem, ob n endlich ist oder nicht. Der Wert einer unendlichen Reihe beträgt:
Dieser Wert ist nur definiert, falls die Reihe für große Werte von n konvergiert. Das bedeutet, es muss einen Wert s geben, so dass für jeden beliebig kleinen Bereich um s ein n’ existiert mit der Eigenschaft, dass alle sn für n > n’ innerhalb dieses Bereiches liegen.
Wichtige Reihen in der Mathematik
Arithmetische Reihe
Eine arithmetische Reihe ist die Summe über die ersten n Glieder einer arithmetischen Folge. Für jede arithmetische Folge gilt ein Bildungsgesetz in dieser Form:
Eine arithmetische Reihe ist somit definiert als:
Für die Summe über die ersten n natürlichen Zahlen gilt die sogenannte Gaußsche Summenformel:
Somit gilt für arithmetische Reihen:
Geometrische Reihe
Eine geometrische Reihe ist eine Summe über n Glieder einer geometrischen Folge. Für jede geometrischen Folge gilt ein Bildungsgesetz in dieser Form:
Eine geometrische Reihe ist somit definiert als:
Falls q kleiner als 1 und größer als -1 ist, konvergiert die Geometrische Reihe. Dann gilt:
Für c = 1 und q = 1/2 gilt beispielsweise:
Reihen in der Mathematik
Reihen kommen in der Mathematik relativ häufig vor. Dabei handelt es sich um eine unendliche Folge von Zahlen, die nach einem bestimmten Schema angeordnet sind. Eine Reihe kann zum Beispiel aus den natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5,… bestehen.
Bei einer solchen Reihe wird jede Zahl um 1 erhöht. Das bedeutet, dass die nächste Zahl immer um 1 größer ist als die vorherige.
Natürlich können Reihen auch anders aussehen. So kann zum Beispiel die Reihe 2, 4, 6, 8,…bestehen. In diesem Fall wird jede Zahl um 2 erhöht. Auch hier gilt wieder: Die nächste Zahl ist immer um 2 größer als die vorherige.