Kategorie: Formeln

• Grundlegende Rechengesetze für Brüche
• Grundrechenarten und Brüche
• Wozu braucht man Bruchrechnen?
• Was ist ein Bruch?
• Der Wert eines Bruchs
• Brüche vergleichen
• Brüche kürzen und erweitern
• Brüche nennergleich machen
• Brüche addieren und subtrahieren
• Brüche multiplizieren
• Brüche dividieren

Bruchrechnen ist das Rechnen mit Bruchzahlen, bzw. Brüchen, die aus einem Zähler und einem Nenner bestehen. Alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen, gehören der Menge der rationalen Zahlen an. Das Bruchrechnen ist für weite Teile der Mathematik grundlegend.

Grundlegende Rechengesetze für Brüche

Formel	Bedeutung
	Erweitern eines Bruches
	Kürzen eines Bruches
	Multiplikation eines Bruches mit einer ganzen Zahl
	Division eines Bruches durch eine ganze Zahl

Grundrechenarten und Brüche

Formel	Bedeutung
	Addition von Brüchen mit gleichem Nenner
	Addition von Brüchen mit unterschiedlichem Nenner
	Multiplikation von Brüchen
	Der Kehrwert eines Bruches
	Division zweier Brüche

Wozu braucht man Bruchrechnen?

Beim Bruchrechnen rechnet man mit den Teilen ganzer Zahlen. Das heißt, dass man nicht nur Aufgaben berechnet, in denen die natürlichen Zahlen vorkommen, sondern auch solche, in denen die sogenannten rationalen Zahlen benötigt werden. Bruchrechnen ist in vielen Zusammenhängen sinnvoll: Beispielsweise kann man mit seiner Hilfe ermitteln, wie man einen Kuchen aufteilt. Das geht oft ganz intuitiv, kann aber sehr nützlich sein, wenn man Bruchrechnen üben will. Will man beispielsweise einen Kuchen zu zweit essen, muss man ihn durch zwei teilen, also bekommt jeder einen halben Kuchen, will man ihn zu fünft essen, muss man ihn durch fünf teilen. Jeder bekommt jetzt ein Fünftel des Kuchens. Verzichtet aber einer auf sein Stück und gibt es stattdessen an einen Freund, kann dieser sogar zwei Fünftel des Kuchens essen. Diese praktische Anwendung der Bruchrechnung gehört zu den typischen Aufgaben im Bruchrechnen.

Was ist ein Bruch?

Eine Bruchzahl beschreibt eine Zahl als Quotient aus Zähler und Nenner. Der Bruchstrich hat dabei dieselbe Bedeutung wie das Geteilt-Zeichen. Oberhalb des Bruchstrichs steht dabei der Divident. Er wird in der Bruchrechnung als „Zähler“ bezeichnet. Unterhalb des Bruchstrichs steht der Divisor. Er wird in der Bruchrechnung als „Nenner“ bezeichnet.

Ausgesprochen wird der Bruch, indem man den Zähler als Menge und den Nenner als Einheit benennt. Der Zahl im Nenner hängt man dafür die Silbe „-tel“ an. Der Bruch aus dem Beispiel wird also als „fünf Siebtel“ ausgesprochen.

Der Wert eines Bruchs

Wie der Wert eines Bruches zustande kommt, kann man sich anhand eines praktischen Beispiels deutlich machen. Hierfür stellen wir uns vor, dass wir eine Torte aufteilen. Wir teilen sie in eine bestimmte Anzahl von Stücken auf (beispielsweise 8) und nehmen uns sechs dieser Stücke. Dann haben wir »sechs Achtel« der Torte. Die Anzahl der Stücke, in die die Torte insgesamt unterteilt wird, entspricht also dem Nenner und die Anzahl der Stücke, die wir erhalten, dem Zähler.

Im Folgenden werden einige Brüche in Bruchdarstellung und als Strecke abgebildet.

Brüche vergleichen

Wenn man Brüche vergleicht, muss man daran denken, dass der Zähler (steht über dem Bruchstrich) den Bruch größer macht, während der Nenner den Bruch kleiner macht. Das bedeutet, dass von zwei Bruchzahlen mit demselben Nenner der Bruch größer ist, dessen Zähler größer ist. So sind die nächsten drei Brüche der Größe nach sortiert. Anhand der Streckendarstellung erkennt man leicht, dass der Bruch mit dem größten Zähler auch den größten Wert hat.

Umgekehrt verhält es sich bei Brüchen mit gleichem Zähler und unterschiedlich großem Nenner. Bei gleichem Zähler ist der Bruch am größten, der den kleinsten Nenner hat. Die nächsten drei Brüche haben alle denselben Zähler und sind wieder der Größe nach sortiert. In der Streckendarstellung erkennt man leicht, wie größere Nenner (d.h. kleinere Streckenabschnitte) zu kleineren Brüchen führen.

Brüche kürzen und erweitern

Beim Bruchrechnen steht man häufig vor dem Problem, dass zwei Bruchzahlen, die man vergleichen, addieren oder subtrahieren will, unterschiedliche Nenner haben. In diesen Fällen muss man den Nenner von einem oder beiden Brüchen ändern. Dies funktioniert, indem man den Bruch kürzt oder erweitert.

Um Brüche zu erweitern, werden einfach der Zähler und der Nenner mit derselben Zahl multipliziert. Der Bruch behält dabei seinen Wert, weil sich Zähler und Nenner um denselben Faktor ändern.

Die folgenden vier Brüche haben beispielsweise alle denselben Wert, auch wenn sie alle unterschiedliche Zähler und Nenner haben:

Beim Kürzen von Brüchen geht man den umgekehrten Weg wie beim Erweitern: Anstatt Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren, dividiert man sie durch dieselbe Zahl. Dies geht natürlich nur, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Wenn der Zähler und der Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr haben, ist es nicht möglich, den Bruch weiter zu kürzen. In diesem Fall spricht man von einem vollständig gekürztem Bruch.

Häufig steht man auch vor der Aufgabe aus einem Bruch einen vollständig gekürzten Bruch herzustellen. Hierfür sucht man nach dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner und teilt beide Bestandteile des Bruches durch diese Zahl. Am einfachsten geht dies indem man alle Primfaktoren ermittelt, die gemeinsamen Primfaktoren multipliziert und Zähler und Nenner durch das Ergebnis teilt.

In der folgenden Tabelle sind für vier Brüche jeweils der größte gemeinsame Teiler und die Darstellung als vollständig gekürzter Bruch angegeben:

Bruch	ggT	Vollständig gekürzter Bruch
	3
	4
	3
	4235

Wie man vor allem an dem letzten Beispiel erkennt, kann die Darstellung von Brüchen durch das Kürzen oft erheblich vereinfacht werden.

Brüche nennergleich machen

Zwei Brüche können nur direkt verglichen, addiert oder subtrahiert werden, wenn sie nennergleich sind. In der Bruchrechnung steht man daher oft vor dem Problem, dass man zwei Brüche auf denselben Nenner bringen muss.

Im einfachsten Fall ist der Nenners des einen Bruchs ein Vielfaches des anderen. Dies ist beispielsweise bei den Brüchen 3/5 und 13/15 der Fall. Hier genügt es den Bruch mit dem kleineren Nenner um den Quotienten beider Nenner zu erweitert. So erhalten wir in dem Beispiel die beiden Brüche 9/15 und 13/15.

Falls keiner der beiden Nenner ein Vielfaches des anderen Nenners ist, muss man die Nenner beider Brüche anpassen. Dafür ermittelt man zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache und bringt beide Brüche auf diesen Nenner. Hat man beispielsweise die beiden Brüche 3/4 und 5/6 ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner 12. Um 3/4 auf den Nenner 12 zu bringen, muss man mit 3 erweitern:

Und um 5/6 auf den Nenner 12 zu bringen, muss man mit 2 erweitern:

Oft ist es auch gar nicht notwendig, den kleinsten möglichen gemeinsamen Nenner zu finden. In vielen Fällen reicht es in der Bruchrechnung aus, überhaupt einen gemeinsamen Nenner zu haben. Dann kann man auch einfach jeden der beiden Brüche jeweils um den Nenner des anderen Bruches erweitern. Im Falle von 3/4 und 5/6 erhalten wir so:

und:

Brüche addieren und subtrahieren

Brüche werden addiert oder subtrahiert, indem man sie zunächst nennergleich macht und anschließend ihre Zähler addiert oder subtrahiert. Diese Reihenfolge ist fundamental für die Bruchrechnung. Da hier eine Quelle für viele Fehler liegt, sollte sie jeder Schüler verinnerlichen: Nur nennergleiche Brüche dürfen addiert oder subtrahiert werden.

Wollen wir beispielsweise die Brüche 11/6 und 6/8 addieren, können wir folgendermaßen rechnen:

Brüche multiplizieren

In der Bruchrechnung multipliziert man zwei Brüche, indem man sowohl ihre Zähler, als auch ihre Nenner jeweils miteinander multipliziert. Hierbei entstehen oftmals große Zahlen, weshalb die Ergebnisse soweit möglich gekürzt werden sollten. Andernfalls schleichen sich bei Folgerechnungen schnell Rechenfehler ein, da die Rechnungen sehr kompliziert werden.

Die Brüche 3/7 und 14/9 werden beispielsweise folgendermaßen multipliziert:

Bei sehr großen Zähler und Nenner, kann man auch vor der eigentlichen Multiplikation bereits mit dem Kürzen beginnen. Hierfür schreibt man Zähler und Nenner jeweils als Produkte ihrer Primfaktoren und streicht anschließend alle Faktoren, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen. So multipliziert man die Brüche 60/77 und 22/15 beispielsweise so:

Brüche dividieren

Die Division von zwei Brüchen ist nicht viel schwieriger als die Multiplikation. So wird ein Bruch durch einen anderen dividiert, indem man ihn einfach mit dessen Kehrwert multipliziert. Der Kehrwert (oder auch das Inverse) eines Bruches beschreibt die Zahl, mit der man ihn multiplizieren muss, damit er zu 1 wird. Man kann ihn ganz einfach ermitteln, indem man einfach Nenner und Zähler vertauscht. Von 3/4 ist beispielsweise 4/3 der Kehrwert und von 12/7 ist es 7/12.

Will man den Bruch 5/8 durch 3/4 teilen rechnet man also:

• Warum kürzt man Brüche?
• Was ist ein vollständig gekürzter Bruch?

Brüche werden gekürzt, indem man den Zähler und den Nenner durch dieselbe Zahl teilt. Der Wert des Bruches ändert sich dabei nicht. Der Quotient aus Zähler und Nenner bleibt nämlich weiterhin derselbe. Die allgemeine Formel, um einen Bruch zu kürzen, lautet also:

In der folgenden Tabelle sind fünf Brüche dargestellt, die alle denselben Wert haben. Die vier oberen Brüche lassen sich jeweils auf 1/2 (den untersten Bruch) kürzen. Wie man in der Streckendarstellung der Brüche gut erkennt, ändert sich der Wert durch das Kürzen nicht.

Warum kürzt man Brüche?

Brüche werden gekürzt, um die weitere Rechnung einfach zu hälten. Während man mit Brüchen rechnet kann es nämlich schnell vorkommen, dass im Zähler und Nenner große Zahlen stehen. In diesem Fall schleichen sich schnell Rechenfehler ein. Stehen beispielsweise im Zähler und Nenner vier- oder fünfstellige Zahlen, passieren bei der weiteren Rechnung leicht Flüchtigkeitsfehler. Man sollte Brüche kürzen, um solche Situationen zu vermeiden.

Man muss außerdem häufig Brüche kürzen, um ihren Wert zu vergleichen. Hat man beispielsweise die drei Brüche 20/60, 6/18 und 1/3 ist nicht sofort offensichtlich, wie sich die Werte dieser Brüche zueinander verhalten. Kürzt man die ersten beiden Brüche, indem man im ersten Zähler und Nenner durch zwanzig und im zweiten Zähler und Nenner durch sechs erteilt, sieht man dass alle drei Brüche gleich groß sind.

Was ist ein vollständig gekürzter Bruch?

Nicht jeder Bruch lässt sich noch weiter kürzen. Brüche können nämlich nur gekürzt werden, solange der Zähler und der Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Ist dies nicht der Fall, lässt sich der Bruch nicht kürzen. Man spricht in diesem Fall von einem vollständig gekürztem Bruch.

Vollständig gekürzte Brüche liegen insbesondere vor, wenn im Zähler eine Eins steht, wenn sich Zähler und Nenner nur um eins unterscheiden und wenn im Nenner oder Zähler eine Primzahl steht. Doch auch wenn keiner dieser drei Fälle zutrifft, kann es sein, dass sich ein Bruch nicht kürzen lässt, weil Zähler und Nenner teilerfremd sind. Dies kann man am sichersten überprüfen, indem man eine Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner erstellt. Wenn sie keine gemeinsamen Primfaktoren besitzen, kann der Bruch nicht mehr gekürzt werden.

Der folgende Bruch kann beispielsweise gekürzt werden, weil sowohl Zähler, als auch Nenner die Primfaktoren 2 und 3 enthalten:

Der folgende Bruch kann dagegen nicht mehr gekürzt werden, weil Zähler und Nenner teilerfremd sind:

Um einen Bruch vollständig zu kürzen, geht man in zwei Schritten vor: Zuerst ermittelt man den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner. Dies ist die größte Zahl, die sowohl den Zähler, als auch den Nenner ohne Rest teilt. Anschließend teilt man Zähler und Nenner durch diese Zahl. Im ersten Beispiel oben ist Beispielsweise der größte gemeinsame Teiler von 126 und 330 die Zahl sechs. Deshalb ist der Bruch vollständig gekürzt, nachdem man ihn mit sechs gekürzt hat.

• Assoziativgesetz der Addition
• Beispiel für das Assoziativgesetz der Addition
• Assoziativgesetz der Multiplikation
• Beispiel für das Assoziativgesetz der Multiplikation

Als Assoziativgesetz bezeichnet man Rechenregeln, die bestimmen, in welcher Reihenfolge mehrere Rechnungen in einer Formel ausgeführt werden. Von besonderer Bedeutung für die Schule sind das Assoziativgesetz der Addition und das Assoziativgesetz der Multiplikation. Beide Gesetze werden bereits in der Grundschule gelernt und sollten von jedem Schüler ohne Probleme angewandt werden können.

Assoziativgesetz der Addition

Das Assoziativgesetz der Addition bezieht sich auf Formeln, in denen mehrere Additionen nacheinander durchgeführt werden. Es besagt, dass es keine Rolle spielt, welche der Additionen zuerst und welche zuletzt durchgeführt werden.

Als Formel ausgedrückt lautet das Assoziativgesetz der Addition:

Diese Formel zeigt den Fall, dass drei Zahlen a, b und c addiert werden. Hier kommen wir jedes Mal zum selben Ergebnis, egal in welcher Reihenfolge die Zahlen addiert werden. Es können also sowohl zuerst a und b, als auch b und c addiert werden, bevor die jeweils dritte Zahl addiert wird. Es ist sogar möglich, zuerst a und c zu addieren.

Die Klammern in der Formel geben die Reihenfolge der Rechnung an. Auf der linken Seite der Formel ist die Addition von b und c eingeklammert und wird deshalb vor der Addition mit a durchgeführt. Auf der rechten Seite ist die Addition von a und b eingeklammert und wird vor der Addition von c durchgeführt. Das Assoziativgesetz der Addition besagt, dass bei mehreren Additionen gleichgültig ist, um welche der Addition eine Klammer gesetzt ist und um welche nicht. Das Assoziativgesetz wird deshalb häufig auch „Klammergesetz“ genannt.

Beispiel für das Assoziativgesetz der Addition

Ein Beispiel für das Assoziativgesetz der Addition ist die Berechnung von:

Hier können wir frei entscheiden, welche der beiden Zahlen wir zuerst addieren und welche wir als drittes addieren. So ergibt sich:

Wenn wir die Regeln des Assoziativgesetz der Addition als Baum darstellen, wird besonders deutlich, wie wir bei der Rechnung vorgehen können:

Assoziativgesetz der Multiplikation

Das Assoziativgesetz der Multiplikation gilt für Formeln, in denen mehrere Zahlen, bzw. Terme, nacheinander multipliziert werden. Es besagt, dass die Reihenfolge, in der die einzelnen Multiplikationen ausgeführt werden, keinen Einfluss auf das Ergebnis hat.

Als Formel ausgedrückt lautet das Assoziativgesetz der Multiplikation:

In dieser Formel werden die drei Zahlen a, b und c miteinander multipliziert. Auf der rechten Seite der Formel wird der Fall dargestellt, dass zuerst a und b miteinander multipliziert werden und das Ergebnis anschließend mit c multipliziert wird. Auf der linken Seite wird der Fall dargestellt, dass zuerst b und c miteinander und anschließend mit a multipliziert werden. Es wäre ebenso möglich zuerst a und c miteinander und anschließend mit c zu multiplizieren. Das Assoziativgesetz der Multiplikation besagt, dass alle Rechnungen dasselbe Ergebnis liefern.

Beispiel für das Assoziativgesetz der Multiplikation

Das Assoziativgesetz der Multiplikation können wir beispielsweise bei der Berechnung dieser Formel anwenden:

In welcher Reihenfolge wir die Faktoren multiplizieren spielt für das Ergebnis keine Rolle. Es gelten die drei Fälle:

Wie man leicht überprüfen kann, führen alle drei Rechnungen zu demselben Ergebnis, auch wenn die Faktoren jeweils in anderer Reihenfolge multipliziert wurden.

• Beispiele zum Erweitern von Brüchen
• Wozu muss man Brüche erweitern?

Will man einen Bruch erweitern, muss man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. Weil sich Zähler und Nenner dabei um denselben Faktor vergrößern, ändert sich der Wert des Bruches nicht (das Erweitern eines Bruches entspricht einer Multiplikation mit einem Bruch, der den Wert „1“ hat). Die umgekehrte Operation zum Erweitern von Brüchen ist das Kürzen von Brüchen. Für eine noch ausführlichere Hilfe besteht immer die Möglichkeit einer Mathe Nachhilfe.

Die allgemeine Formeln, um Brüche zu erweitern, lautet:

In der folgenden Tabelle werden mehrere Brüche gezeigt. Sie haben alle unterschiedliche Zähler und Nenner. Ihr Wert ist aber derselbe. Die oberen vier Brüche stellen dabei eine Erweiterung des untersten Bruchs (1/2) dar:

Beispiele zum Erweitern von Brüchen

Die folgenden Beispiele zeigen, wir sich Brüche erweitern lassen:

Im ersten Beispiel wird der Bruch 3/4 mit 2 erweitert, im zweiten 5/7 mit 9 und in den letzten beiden Beispielen wird zweimal der Bruch 1/12 erweitert, einmal mit 12 und einmal mit 6.

Das folgende Beispiel zeigt, was passiert, wenn man einen Bruch zweimal erweitert. Er hat danach dieselbe Darstellung, als hätte man ihn direkt mit dem Produkt der beiden Zahlen erweitert:

Der Grund hierfür liegt im Assoziativgesetz der Multiplikation

Wozu muss man Brüche erweitern?

Zähler und Nenner werden beim Erweitern größer. Die Bruchrechnung wird dadurch eher komplizierter. Warum soll man Brüche also überhaupt erweitern?

Der Grund liegt darin, dass man zwei Brüche nur dann vergleichen, addieren oder subtrahieren kann, wenn sie denselben Nenner haben. Deshalb muss man Brüche häufig gleichnamig machen. Zwei gleichnamige Brüche sind Brüche, die denselben Nenner haben. Falls man die Brüche nicht auf denselben Nennen bringen kann, indem man einen von ihnen kürzt, muss man die Brüche erweitern. Die einfachste Möglichkeit, zwei Brüche gleichnamig zu machen, ist es, sie jeweils um den Nenner des anderen Bruchs zu erweitern.

Das folgende Beispiel zeigt, wie man die Brüche 3/4 und 1/5 gleichnamig macht. Dabei wird der erste Bruche mit 5, der zweite mit 4 erweitert. Anschließend haben beide denselben Nenner:

• Binomische Formeln
• Grafische Herleitung
• Herleitung der 3 binomischen Formeln
  • Herleitung der 1. binomischen Formel
  • Herleitung der 2. binomischen Formel
  • Herleitung der 3. binomischen Formel

Die binomischen Formeln gehören zum grundlegenden Rüstzeug für Schüler aller Schularten. Mit Hilfe der binomischen Formeln wird die Potenz der Summe zweier Zahlen (häufig als a und b bezeichnet) gebildet. Die Rechnung mit Potenzen wird auf diese Weise erheblich vereinfacht. Anstatt nämlich zwei große Zahlen multiplizieren zu müssen, brauchen die Schüler nach Anwendung der binomischen Formeln nur noch zwei kleinere Zahlen miteinander zu multiplizieren und deren Summe zu bilden.

In der Mathematik werden drei binomische Formeln unterschieden:

• Die erste binomische Formel beschreibt den Fall, dass zwei Zahlen a und b addiert und die Summe potenziert wird.
• Die zweite binomische Formel wird in dem Fall angewendet, dass b von a subtrahiert wird.
• Die dritte binomische Formel wird schließlich angewendet, wenn wir zwei unterschiedliche Faktoren haben, nämlich einen, in dem a und b addiert, und einen, in dem b von a subtrahiert wird.

Zu den wichtigen Punkten, die ein Schüler im Zusammenhang mit den binomische Formeln lernen muss, gehört es zu erkennen, welche der drei binomischen Formeln in einer konkreten Aufgabe angewandt werden muss.

Binomische Formeln

Formel	Bedeutung
	Erste binomische Formel
	Zweite binomische Formel
	Dritte binomische Formel

Grafische Herleitung

Die obige Grafik zeigt, wie sich die erste binomische Formel grafisch herleiten lässt. Sie zeigt ein Quadrat, dessen Kantenlänge a + b beträgt. Seine Fläche lässt sich daher mit (a + b)² berechnen. Dieses Quadrat setzt sich wiederum aus verschiedenen Flächen zusammen. Die grün umrandete Fläche entspricht mit a² dem ersten Summanden der binomischen Formel, die blau umrandete mit b² dem letzten Summanden. Die beiden rot umrandeten Rechtecke, deren Fläche jeweils a * b beträgt, entsprechen zusammen dem mittleren Summanden 2ab. Anhand dieser einprägsamen Grafik lässt sich sofort erkennen, dass die Fläche des großen Quatdrats (a + b)² der gemeinsamen Fläche der beiden kleinen Quadrate und der beiden Rechtecke (a² + 2ab + b²) entspricht. Hierin finden wir also die erste binomische Formel wieder:

Herleitung der 3 binomischen Formeln

Die binomischen Formeln werden hergeleitet, in dem zuerst die Potenz hoch zwei aufgelöst wird in die Multiplikation zweier Summen (bzw. zwei Differenzen oder einer Summe mit einer Differenz). Anschließend wird zuerst die Summe in der vorderen Klammer ausmultipliziert. Jeder der beiden Summanden wird mit der zweiten Klammer multipliziert. Anschließend wird auch die zweite Klammer ausmultipliziert. Wir haben nun vier Summanden mit unterschiedlichen Vorzeichen. Zwei der Summanden sind die Quadrate von a und b. Die beiden anderen Summanden jeweils das Produkt aus a und b. Die drei binomischen Formeln unterscheiden sich in den Vorzeichen ihrer Summanden. Durch Zusammenfassung der Summanden werden die binomischen Formeln in ihre endgültige Form aus drei, bzw. zwei Summanden gebracht.

Herleitung der 1. binomischen Formel

Herleitung der 2. binomischen Formel

Herleitung der 3. binomischen Formel