Assoziativgesetz der Addition und Multiplikation (Klammergesetz)

Als Assoziativgesetz bezeichnet man Rechenregeln, die bestimmen, in welcher Reihenfolge mehrere Rechnungen in einer Formel ausgeführt werden. Von besonderer Bedeutung für die Schule sind das Assoziativgesetz der Addition und das Assoziativgesetz der Multiplikation. Beide Gesetze werden bereits in der Grundschule gelernt und sollten von jedem Schüler ohne Probleme angewandt werden können.

Assoziativgesetz der Addition

Das Assoziativgesetz der Addition bezieht sich auf Formeln, in denen mehrere Additionen nacheinander durchgeführt werden müssen. Es besagt, dass es dabei keine Rolle spielt, welche der Additionen zuerst und welche zuletzt durchgeführt werden.

Als Formel ausgedrückt lautet das Assoziativgesetz der Addition:

Diese Formel zeigt den Fall, dass drei Zahlen a, b und c addiert werden sollen. Hier kommen wir jedes Mal zu dem selben Ergebnis, egal in welcher Reihenfolge die Zahlen addiert werden. Es können also sowohl zuerst a und b, als auch b und c addiert werden, bevor die jeweils dritte Zahl addiert wird. Es wäre sogar möglich, zuerst a und c zu addieren.

Die Klammern in der Formel geben jeweils die Reihenfolge der Rechnung an. Auf der linken Seite der Formel ist die Addition von b und c eingeklammert und wird deshalb vor der Addition mit a durchgeführt. Auf der rechten Seite ist dagegen die Addition von a und b eingeklammert und wird vor der Addition von c durchgeführt. Das Assoziativgesetz der Addition besagt in diesem Sinne, dass bei mehreren Additionen gleichgültig ist, um welche der Addition eine Klammer gesetzt ist und um welche nicht. Das Assoziativgesetz wird daher häufig auch "Klammergesetz" genannt.

Beispiel für das Assoziativgesetz der Addition

Ein Beispiel für das Assoziativgesetz der Addition ist die Berechnung von:

Beispieladdition

Hier können wir frei entscheiden, welche der beiden Zahlen wir zuerst addieren und welche wir als drittes addieren. So ergibt sich:

Beispiel für die Anwendung des Assoziativgesetzes der Addition

Wenn wir die Regeln des Assoziativgesetz der Addition als Baum darstellen, wird besonders deutlich, wie wir bei der Rechnung vorgehen können:

Assoziativgesetz der Multiplikation

Das Assoziativgesetz der Multiplikation gilt für Formeln, in denen mehrere Zahlen, bzw. Terme, nacheinander multipliziert werden. Es besagt, dass dabei die Reihenfolge, in der die einzelnen Multiplikationen ausgeführt werden, keinen Einfluss auf das Ergebnis hat.

Als Formel ausgedrückt lautet das Assoziativgesetz der Multiplikation:

Assoziativgesetz der Multiplikation

In dieser Formel werden die drei Zahlen a, b und c miteinander multipliziert. Auf der linken Seite der Formel wird der Fall dargestellt, dass zuerst a und b miteinander multipliziert werden und das Ergebnis anschließend mit c multipliziert wird. Auf der rechten Seite wird der Fall dargestellt, dass zuerst b und c miteinander und anschließend mit a multipliziert werden. Es wäre sogar noch der Fall denkbar, dass zuerst a und c miteinander und anschließend mit c mit multipliziert werden. Das Assoziativgesetz der Multiplikation besagt, dass alle Rechnungen das selbe Ergebnis liefern. 

Beispiel für das Assoziativgesetz der Multiplikation

Das Assoziativgesetz der Multiplikation können wir beispielsweise bei der Berechnung dieser Formel anwenden:

Beispielmultiplikation

In welcher Reihenfolge wir die einzelnen Faktoren miteinander multiplizieren spielt hier für das Ergebnis keine Rolle. Es gelten also die drei Fälle:

Beispiel für die Klammerung bei der Multiplikation

Wie man leicht überprüfen kann, führen alle drei Rechnungen zu demselben Ergebnis, auch wenn die Faktoren jeweils in anderer Reihenfolge multipliziert wurden.