Bruchrechnen

Bruchrechnen ist das Rechnen mit gebrochenen Zahlen, Brüchen, die aus einem Zähler und einem Nenner bestehen. Alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen, gehören der Menge der rationalen Zahlen an. Das Bruchrechnen ist für weite Teile der Mathematik grundlegend. 

Grundlegende Rechengesetze für Brüche

Erweitern eines BruchesErweitern eines Bruches
Kürzen eines BruchesKürzen eines Bruches
Multiplikation eines Bruches mit einer ganzen ZahlMultiplikation eines Bruches mit einer ganzen Zahl
Division eines Bruches durch eine ganze ZahlDivision eines Bruches durch eine ganze Zahl

Grundrechenarten und Brüche

Addition von Brüchen mit gleichem NennerAddition von Brüchen mit gleichem Nenner
Addition von Brüchen mit unterschiedlichem NennerAddition von Brüchen mit unterschiedlichem Nenner
Multiplikation von BrüchenMultiplikation von Brüchen
Der Kehrwert eines BruchesDer Kehrwert eines Bruches
Division von zwei BrüchenDivision von zwei Brüchen

Wozu braucht man Bruchrechnen?

Beim Bruchrechnen rechnet man mit den Teilen ganzer Zahlen. Das heißt, dass man nicht nur Aufgaben berechnet kann, in denen die natürlichen Zahlen vorkommen, sondern auch solche, in denen die sogenannten rationalen Zahlen benötigt werden. Bruchrechnen ist daher in vielen Zusammenhängen sinnvoll: Beispielsweise kann man so ermitteln, wie man einen Kuchen aufteilt. Das geht oft ganz intuitiv, kann aber sehr nützlich sein, wenn man Bruchrechnen üben will. Will man beispielsweise einen Kuchen zu zweit essen, muss man ihn durch zwei teilen, also bekommt jeder einen halben Kuchen, will man ihn zu fünft essen, muss man ihn durch fünf teilen. Jeder bekommt jetzt ein Fünftel des Kuchens. Verzichtet aber einer auf sein Stück und gibt es stattdessen an einen Freund, kann dieser sogar zwei Fünftel des Kuchens essen. Diese praktische Anwendung der Bruchrechnung gehört zu den typischen Bruchrechnen Aufgaben.

Natürlich helfen auch beim Bruchrechnen Übungsaufgaben, die Regeln sicher zu beherschen. Am Anfang haben Schüler mit ihnen zwar noch Schwierigkeiten, aber bald merken sie das die Bruchrechnen Regeln gar nicht so schwer sind und schnell gelernt sind. Die wichtigsten Formeln dazu finden sie hier. Besonders sinnvoll sind auch beim Bruchrechnen Textaufgaben. Sie stellen seinen Nutzen in einem praktischen Zusammenhand dar und verwirren nicht durch verwirrende Formeln. Besonders sinnvoll ist es auch, Schülern zum Bruchrechnen Aufgaben mit Lösungen an die Hand zu geben, die sie alleine zuhause durchrechnen können. Langsam werden Schüler durch sie in die neue Materie eingeführt und lernen durch sie immer besser Bruchrechnen.

Was ist ein Bruch?

Ein Bruch beschreibt eine Zahl als Quotient aus Zähler und Nenner. Der Bruchstrich hat dabei dieselbe Bedeutung wie das Geteilt-Zeichen. Oberhalb des Bruchstrichs steht dabei der Divident. Er wird in der Bruchrechnung als »Zähler« bezeichnet. Unterhalb des Bruchstrichs steht der Divisor. Er wird in der Bruchrechnung als »Nenner« bezeichnet.

Zähler und Nenner

Ausgesprochen wird der Bruch, indem man den Zähler als Menge und den Nenner als Einheit benennt. Der Zahl im Nenner hängt man dafür die Silbe »-tel« an. Der Bruch aus dem Beispiel wird also als »fünf Siebtel« ausgesprochen.

Der Wert eines Bruchs

Wie der Wert eines Bruches zustande kommt, kann man sich anhand eines praktischen Beispiels deutlich machen. Hierfür stellen wir uns vor, dass wir eine Torte aufteilen wollen. Wir teilen sie in eine bestimmte Anzahl von Stücken auf (beispielsweise 8) und nehmen uns sechs dieser Stücke. Dann haben wir »sechs Achtel« der Torte. Die Anzahl der Stücke, in die die Torte insgesamt unterteilt wird, entspricht also dem Nenner und die Anzahl der Stücke, die wir erhalten, dem Zähler.

Im Folgenden werden einige Brüche in Bruchdarstellung und als Strecke abgebildet.

Beispiele für verschiedene Brüche

Brüche vergleichen

Wenn man Brüche vergleicht, muss man daran denken, dass der Zähler den Bruch größer macht, während der Nenner den Bruch kleiner macht. Das bedeutet, dass von zwei Brüchen mit demselben Nenner der Bruch größer ist, dessen Zähler größer ist. So sind die nächsten drei Brüche der Größe nach sortiert. Anhand der Streckendarstellung erkennt man leicht, dass der Bruch mit dem größten Zähler auch den größten Wert hat.

Brüche mit gleichem Nenner

Umgekehrt verhält es sich bei Brüchen mit gleichem Zähler und unterschiedlich großem Nenner. Bei gleichem Zähler ist der Bruch am größten, der den kleinsten Nenner hat. Die nächsten drei Brüche haben alle denselben Zähler und sind wieder der Größe nach sortiert. In der Streckendarstellung erkennt man leicht, wie größere Nenner (d.h. kleinere Streckenabschnitte) zu kleineren Brüchen führen.

Brüche mit gleichem Zähler

Falls sich sowohl Zähler als auch Nenner von zwei Brüchen unterscheiden, lässt sich nicht so einfach sagen, welcher Bruch größer ist. Dafür muss man die beiden Brüche zunächst nennergleich machen. Das bedeutet, dass man sie als zwei Brüche mit demselben Nenner darstellt. Danach genügt es, ihre Zähler zu vergleichen. Wie das funktioniert, wird in den nächsten beiden Abschnitten erklärt.

Brüche kürzen und erweitern

Beim Bruchrechnen steht man häufig vor dem Problem, dass zwei Brüche, die man vergleichen, addieren oder subtrahieren will, unterschiedliche Nenner haben. In diesen Fällen muss man den Nenner von einem oder beiden Brüchen ändern. Dies funktioniert, indem man den Bruch kürzt oder erweitert.

Um Brüche zu erweitern, werden einfach der Zähler und der Nenner mit derselben Zahl multipliziert. Der Bruch behält dabei seinen Wert, weil sich Zähler und Nenner um denselben Faktor ändern.

Die folgenden vier Brüche haben beispielsweise alle denselben Wert, auch wenn sie alle unterschiedliche Zähler und Nenner haben:

Unterschiedliche Brüche mit dem gleichen Wert

Beim Kürzen von Brüchen geht man den umgekehrten Weg wie beim Erweitern: Anstatt Zähler und Nenner aber mit derselben Zahl zu multiplizieren, dividiert man sie durch dieselbe Zahl. Dies geht natürlich nur, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Wenn der Zähler und der Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr haben, ist es nicht möglich, den Bruch weiter zu kürzen. In diesem Fall spricht man von einem vollständig gekürztem Bruch.

Häufig steht man auch vor der Aufgabe aus einem Bruch einen vollständig gekürzten Bruch herzustellen. Hierfür sucht man nach dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner und teilt beide Bestandteile des Bruches durch diese Zahl. In der folgenden Tabelle sind für vier Brüche jeweils der größte gemeinsame Teiler und die Darstellung als vollständig gekürzter Bruch angegeben:

 

BruchggTVollständig gekürzter Bruch
3ein Drittel
zwanzig Sechsunddreizigstel4fünf Neuntel
dreizig Einundzwanzigstel3
viertausendzweihundertfünfunddreizig Fünfundzwanzigtausendvierhundertzehntel4235ein Sechstel

Wie man vor allem an dem letzten Beispiel erkennt, kann die Darstellung von Brüchen durch das Kürzen oft erheblich vereinfacht werden.

Brüche nennergleich machen

Zwei Brüche können nur direkt verglichen, addiert oder subtrahiert werden, wenn sie nennergleich sind. In der Bruchrechnung steht man daher oft vor dem Problem, dass man zwei Brüche auf denselben Nenner bringen muss.

Im einfachsten Fall ist der Nenners des einen Bruchs ein Vielfaches des anderen. Dies ist beispielsweise bei den Brüchen 3/5 und 13/15 der Fall. Hier genügt es den Bruch mit dem kleineren Nenner um den Quotienten beider Nenner zu erweitert. So erhalten in dem Beispiel die beiden Brüche 9/15 und 13/15.

Falls keiner der beiden Nenner ein Vielfaches des anderen Nenners ist, muss man die Nenner beider Brüche anpassen. Dafür ermittelt zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache und bringt beide Brüche auf diesen Nenner. Hat man beispielsweise die beiden Brüche 3/4 und 5/6 ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner 12. Um 3/4 auf den Nenner 12 zu bringen, muss man mit 3 erweitern:

drei Viertel mit Drei erweitert

Und um 5/6 auf den Nenner 12 zu bringen, muss man mit 2 erweitern:

fünf Sechstel mit Zwei erweitert

Oft ist es auch gar nicht notwendig, den kleinsten möglichen gemeinsamen Nenner zu finden. In vielen Fällen reicht es in der Bruchrechnung aus, überhaupt einen gemeinsamen Nenner zu haben. Dann kann man auch einfach jeden der beiden Brüche jeweils um den Nenner des anderen Bruches erweitern. Im Falle von 3/4 und 5/6 erhalten wir so:

drei Viertel um Sechs erweitert

und:

fünf Sechstel mit Vier erweitert 

Brüche addieren und subtrahieren

Brüche werden addiert oder subtrahiert, indem man sie zunächst nennergleich macht und anschließend ihre Zähler addiert oder subtrahiert. Diese Reihenfolge ist fundamental für die Bruchrechnung. Da hier eine Quelle für viele Fehler liegt, sollte sie jeder Schüler verinnerlichen: Nur nennergleiche Brüche dürfen addiert oder subtrahiert werden.

Wollen wir beispielsweise die Brüche 11/6 und 6/8 addieren, können wir folgendermaßen rechnen:

Beispiel für die Addition von Brüchen

Und wollen wir 3/8 von 8/10 subtrahieren rechen wir so:

Beispiel für die Subtraktion von Brüchen

Brüche multiplizieren und dividieren

In der Bruchrechnung multipliziert man zwei Brüche, indem man sowohl ihre Zähler, als auch ihre Nenner jeweils miteinander multipliziert. Hierbei entstehen oftmals große Zahlen, weshalb die Ergebnisse soweit möglich gekürzt werden sollten. Andernfalls schleichen sich bei Folgerechnungen schnell Rechenfehler ein, da die Rechnungen sehr kompliziert werden.

Die Brüche 3/7 und 14/9 werden beispielsweise folgendermaßen multipliziert:

Beispiel für die Multiplikation von Brüchen

Bei sehr großen Zähler und Nenner, kann man auch vor der eigentlichen Multiplikation bereits mit dem Kürzen beginnen. Hierfür schreibt man Zähler und Nenner jeweils als Produkte ihrer Primfaktoren und streicht anschließend alle Faktoren, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen. So multipliziert man die Brüche 60/77 und 22/15 beispielsweise so:

Langes Beispiel zur Multiplikation von Brüchen

Die Division von zwei Brüchen ist nicht viel schwieriger als die Multiplikation. So wird ein Bruch durch einen anderen dividiert, indem man ihn einfach mit dessen Kehrwert multipliziert. Der Kehrwert (oder auch das Inverse) eines Bruches beschreibt die Zahl, mit der man ihn multiplizieren muss, damit er zu 1 wird. Man kann ihn ganz einfach ermitteln, indem man einfach Nenner und Zähler vertauscht. Von 3/4 ist beispielsweise 4/3 der Kehrwert und von 12/7 ist es 7/12.

Will man den Bruch 5/8 durch 3/4 teilen rechnet man also:

Beispiel für die Division von Brüchen