p-q-Formel – Herleitung und Erklärung

Mit p-q-Formel lassen sich quadratische Gleichungen der Form:

Allgemeine Form einer quadratischen Gleichung

leicht lösen. Die p-q-Formel besagt, dass es maximal zwei Lösungen für solche Gleichungen gibt, und zwar:

Die p-q-Formel in kompakter Form

Die Kombination aus Plus und Minus vor der Wurzel besagt dabei, dass die Wurzel für die eine Lösung addiert und für die andere Lösung subtrahiert werden muss. Ausgeschrieben lauten die beiden Lösungen der p-q-Formel also:

Ausführliche Form der p-q-Formel

Selbstverständlich gibt es auch für die p-q-Formel keine Ausnahme von der Regel, dass unter der Wurzel keine negative Zahl stehen darf (zumindest in der Menge der reelen Zahlen, mit denen Schüler üblicherweise rechnen). Wenn also unter der Wurzel ein negativer Wert entsteht, liefert die p-q-Formel kein Ergebnis. Die quadratische Gleichung hat in diesem Fall keine Lösung.

Beispiele für die p-q-Formel

In unserem ersten Beispiel sehen wir uns diese Formel an:

x^2 + 10 x + 9 = 0

In dieser Gleichung ist das gesuchte p gleich 10 und q ist gleich 9. Eingesetzt in die p-q-Formel ergibt das:

Wir erhalten also als Ergebnis, dass die Gleichung zwei Lösungen hat: -9 und -1.

Im nächsten Beispiel betrachten wir die Gleichung:

3x(x+2)-9 = 0

Diese Gleichung liegt nicht in einer Form vor, dass wir p und q direkt ablesen können. Wir müssen daher zuerst die Klammer ausmultiplizieren. Dadurch erhalten wir die Gleichung in dieser Form:

3x^2 + 6x - 9 = 0

Auch in dieser Form können wir p und q noch nicht direkt ablesen, da vor dem quadratischen Term noch ein Faktor steht. Wir müssen also entweder auf die a-b-c-Formel zurückgreifen oder die Gleichung um 3 kürzen. Da auf der rechten Seite 0 steht ist dies problemlos möglich, und wir erhalten:

Jetzt erhalten wir endlich p = 2 und q = -3. Einsetzen in die p-q-Formel ergibt:

In einem dritten Beispiel sehen wir uns diese Gleichung an:

Hieraus lesen wir p = 2 und q = 5 ab und setzen in die p-q-Formel ein:

An dieser Stelle brechen wir die Berechnung ab, weil unter der Wurzel ein negativer Wert steht. Im Bereich der reelen Zahlen gibt es für die Gleichung keine Lösung. Die quadratische Gleichung hat also keine Nullstelle.

Herleitung der p-q-Formel

Eine quadratische Gleichung in der Form:

Allgemeine quadratische Gleichung

lässt sich nicht so einfach nach x auflösen. Bei der Herleitung der p-q-Formel bedient man sich daher eines Tricks. Es ist nämlich einfach, eine quadratische Gleichung dieser Form nach x aufzulösen:

Eine quadratische Gleichung mit Hilfe der binomischen Formel auflösen

Im zweiten Schritt haben wir die erste binomische Formel angewandt, wodurch es leicht möglich war, x auf der linken Seite zu lassen und alles weitere auf die rechte Seite zu bringen.

Der Trick bei der p-q-Formel besteht nun darin, unsere quadratische Gleichung zuerst in eine Form zu bringen, die uns die Anwendung der ersten binomischen Formel erlaubt. Die Herleitung sieht< so aus:

Herleitung der p-q-Formel

Die binomische Formel haben wir hier im Übergang von der dritten zur vierten Gleichung genutzt. Auf diese Weise war die Herleitung der p-q-Formel einfach.

Logarithmus

Der Logarithmus gibt zu einer gegebenen Potenz bei einer gegebenen Basis den bisher unbekannten Exponenten wieder. Der Logarithmus erlangt insbesondere in der höheren Mathematik dadurch Bedeutung, dass in ihm Multiplikation und Addition zusammenfallen und mit seiner Hilfe die irrationale Zahl e, die Eulersche-Zahl, definiert wird.

Logarithmus

Formel Bedeutung
Definition des Logarithmus Definition des Logarithmus
Nullstelle aller Logarithmen Nullstelle aller Logarithmen
Addition von Logarithmen Addition von Logarithmen
Negation von Logarithmen Negation von Logarithmen
Subtraktion von Logarithmen Subtraktion von Logarithmen
Multiplikation eines Logarithmus Multiplikation eines Logarithmus mit einer natürlichen Zahl
Division von Logarithmen Division von Logarithmen

Spezielle Logarithmen

Formel Bedeutung
Definition der Eulersche Zahl Definition der Eulersche Zahl
Definition des natürlichen Logarithmus Natürlicher Logarithmus
Definition des dekadischen Logarithmus Dekadischer Logarithmus
Definition des binären Logarithmus Binärer Logarithmus

Linksammlung Mathematik

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Kettenregel – Erklärung und Anwendung

Die Kettenregel für Ableitungen besagt, wie verknüpfte Funktionen abgeleitet werden. Sie lautet:

Die Kettenregel

Verknüpfte Funktionen werden also abgeleitet, indem man zuerst die Ableitung der äußeren Funktion bildet, in diese Ableitung die innere Funktion unverändert einsetzt und anschließend das Ergebnis noch einmal mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert. In Kurzform kann man sich die Kettenregel merken als: „Innere Ableitung mal äußere Ableitung“.

Anwendungen und Beispiele für die Kettenregel

Sehen wir uns als ersten Beispiel diese Funktion an:

Erstes Beispiel für die Kettenregel: Ausgangsfunktion

In dieser Funktion sind zwei Funktionen verknüpft:

Erstes Beispiel für die Kettenregel: Verknüpfte Funktionen

Dabei ist f die äußere und g die innere Funktion. Um die Ableitung von h zu bilden, leiten wir zunächst f und g einzeln ab:

Erstes Beispiel für die Kettenregel: Ableitungen der beiden verknüpften Funktionen

Jetzt bilden wir die Ableitung von h, indem wir g in f’ einsetzen und das Ergebnis mit g’ multiplizieren:

Erstes Beispiel für die Kettenregel: Anwendung der Kettenregel

Als nächstes sehen wir uns diese Funktion an:

Zweites Beispiel für die Kettenregel: Abzuleitende Funktion

Wieder liegen hier zwei verknüpfte Funktionen vor. Es sind:

Zweites Beispiel für die Kettenregel: Die beiden verknüpften Funktionen

Und wir bilden zunächst wieder die Ableitungen dieser beiden Funktionen:

Zweites Beispiel für die Kettenregel: Ableitungen der verknüpften Funktionen

Einsetzen in die Kettenregel ergibt:

Zweites Beispiel für die Kettenregel: Anwendung der Kettenregel

Mehrfache Anwendung der Kettenregel

Wenn mehr als nur zwei Funktionen verkettet werden, ist es notwendig, die Kettenregel mehrfach anzuwenden. Wenn wir uns allerdings an Vorgehen halten, das oben gezeigt wird, ist das kein Problem. Betrachten wir als Beispiel den Ausdruck:

Komposition mehrerer Funktionen

Wir sehen uns zunächst an, aus welchen Funktionen dieser Ausdruck zusammengesetzt ist:

Mehrfach verknüpfte Funktionen - einzeln

Insgesamt gilt also:

Mehrfach verknüpfte Funktion - Schema

Um diesen Ausdruck abzuleiten, bilden wir als Erstes die Ableitungen der drei verknüpften Funktionen:

Ableitungen mehrfach verknüpfter Funktionen

Wir leiten den Ausdruck jetzt „von außen nach innen“ ab. Mit der Kettenregel gilt:

Mehrfache Anwendung der Kettenregel - Schema

In diese Gleichung setzen wir die verknüpften Funktionen und ihre Ableitungen ein:

Mehrfache Anwendung der Kettenregel - Beispiel

Lineare Funktion

Eine lineare Funktion ist eine Abbildung der reellen Zahlen auf die reellen Zahlen in dieser Form:

Allgemeine Form linearer Funktionen

Der Parameter m gibt die Steigung der linearen Funktion an. Wenn er positiv ist, so ist die Funktion streng monoton steigend. Wenn er negativ ist, so ist sie streng monoton fallend. Ist er gleich 0, so hat die Funktion den konstanten Wert n. Ihr Graph verläuft dann parallel zur x-Achse im Abstand n.

Der Parameter n gibt den y-Achsenabschnitt der linearen Funktion an. Für x = 0 hat die Funktion den Wert n. Der Graph der Funktion schneidet die y-Achse also genau an der Stelle (0; n).

Falls die Steigung einer linearen Funktion ungleich 0 ist, so ist die Funktion surjektiv und injektiv. Dass sie surjektiv ist, bedeutet dass es zu jedem reellen Wert y einen Wert x gibt, so dass y = f(x). Dass sie injektiv ist, bedeutet, dass für zwei reelle Zahlen u und v aus u ungleich v folgt, dass f(u) ungleich f(v) ist.

Da eine lineare Funktion mit einer Steigung ungleich 0 surjektiv und injektiv ist, ist sie bijektiv. Es gibt deshalb zu ihr eine Umkehrfunktion.

Rechenregeln für lineare Funktionen

Formel Bedeutung
Nullpunkt einer linearen Funktion Nullpunkt
Steigung einer linearen Funktion Steigung aus den bekannten Punkten (x; f(x)) und (y; f(y)) berechnen
y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion y-Achsenabschnitt aus den bekannten Punkten (x; f(x)) und (y; f(y)) berechnen
Umkehrfunktion einer linearen Funktion Umkehrfunktion

Nullpunkt einer linearen Funktion berechnen

Den Nullpunkt einer linearen Funktion können wir direkt aus den Werten von m und n berechnen. Um hierfür eine Formel zu erhalten, setzen wir f(x0) = 0 und lösen nach x0 auf. Dabei gehen wir davon aus, dass m ungleich 0 ist. Ansonsten wäre jeder oder kein Wert der Funktion 0.

Formel für den Nullpunkt einer linearen Funktion herleiten

Wir finden den Nullpunkt einer Funktion also immer an der Stelle Nullpunkt - inline.

Steigung einer linearen Funktion berechnen

Wenn wir mindestens zwei Paare von Argument und Wert einer linearen Funktion kennen, können wir ihre Steigung m berechnen. Wenn die beiden Paare als (x; f(x)) und (y; f(y)) gegeben sind (mit x ungleich y), so erhalten wir die beiden Formeln:

Erste Formel - Steigung berechnen

Zweite Formel - Steigung berechnen

Wir lösen die erste Formel zunächst nach n auf:

Erste Formel nach n auflösen

und setzen sie in die zweite Formel ein:

Erste Formel in die zweite eingesetzt

Jetzt lösen wir diese Formel nach m auf:

Auflösung nach m

Mit anderen Worten entspricht die Steigung einer linearen Funktion dem Verhältnis aus der Differenz der Funktionswerte zu der Differenz ihrer Argumente.

y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen

Kennen wir wiederum zwei Paare von Argument und Wert einer linearen Funktion, können wir ihre Steigung m berechnen. Wenn die beiden Paare als (x; f(x)) und (y; f(y)) gegeben sind (mit x ungleich y und beide ungleich 0), so erhalten wir die beiden Formeln:

Erste Formel - Achsenabschnitt berechnen

Zweite Formel - Achsenabschnitt berechnen

Jetzt lösen wir die erste Forml nach m auf:

Erste Formel nach m aufgelöst

und setzen sie in die zweite Formel ein:

Erste Formel in die zweite eingesetzt

Jetzt lösen wir diese Formel nach n auf:

Auflösung nach n

Umkehrfunktion einer linearen Funktion berechnen.

Eine lineare Funktion, deren Steigung m nicht gleich 0 ist, ist eine ein-eindeutige Abbildung zwischen ihrem Definitionsbereich und ihrem Wertebereich. Sie besitzt daher eine Umkehrfunktion. Wir können die Umkehrfunktion einer linearen Funktion leicht berechnen, indem wir sie nach x auflösen:

Umkehrfunktion einer linearen Funktion berechnen

Die Steigung der Umkehrfunktion ist also 1/m und der y-Achsenabschnitt -n/m.

Kehrwertregel für Ableitungen

Die Kehrwertregel besagt, wie der Kehrwert einer Funktion abgeleitet wird. Sie lautet:

Die Kehrwertregel

In Worten: Die Ableitungs des Kehrwerts einer Funktion, ist der negative Quotient aus der Ableitung der Funktion und dem Quadrat der Funktion.

Anwendung und Beispiele für die Kehrwertregel

Als erstes Beispiel für die Kehrwertregel betrachten wir die Ableitung von:

Kehrwert einer Funktion

Dafür bilden wir zunächst einmal die Ableitung des Nenners:

Ableitung des Nenners

Jetzt setzen wir in die Kehrwertregel ein und erhalten:

Anwendung der Kehrwertregel

Als nächstes schauen wir uns noch die Ableitung des Kehrwerts von Cosinus an:

Ableitung des Kehrwerts von Cosinus

Herleitung der Kehrwertregel

Die Kehrwertregel lässt sich aus der Kettenregel herleiten. Hierfür betrachten wir die abzuleitende Funktion als Verknüpfung von zwei anderen Funktionen:

Kehrwert als Verknüpfung zwei Funktionen

Mit der Funktion h als:

Die Kehrwertfunktion

Gemäß der Kettenregel folgt daraus:

Herleitung der Kehrwertregel

Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Als größten gemeinsamen Teiler von zwei Zahlen a und b, bezeichnet man die größte Zahl m, die sowohl a als auch b ohne Rest teilt. Beispielsweise ist der größte gemeinsame Teiler von 15 und 12 die Zahl 3. Die Zahl 3 ist nämlich die größte Zahl, die sowohl 12 (12/3 = 4), als auch 15 (15/3 = 5) ohne Rest teilt. Für den größten gemeinsamen Teiler ist die Abkürzung ggT üblich. Sie wird in vielen mathematischen Texte benutzt. Oft wird sie auch als Funktion notiert:

ggT von 12 und 15

Um sich die Bedeutung des Begriffs größter gemeinsamer Teiler zu verdeutlichen, sollte man sich die Konsequenz verdeutlichen, die jeder einzelne seiner Bestandteile hat. Wir beginnen am besten beim letzten und arbeiten uns nach vorne

  • Teiler: Ein Teiler ist jede Zahl, die eine andere Zahl ohne Rest teilt. Beispielsweise hat 15 die Teiler 1, 3, 5 und 15. Die Zahl 24 hat die Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24. Ein Primzahl hat nur zwei Teiler 1 und die Zahl selbst.
  • gemeinsamer Teiler: Da es sich beim ggT um einen gemeinsamen Teiler handelt, ist klar, dass er immer nur als Eigenschaft von zwei Zahlen zu betrachten ist. Es wäre sinnlos vom ggT einer einzelnen Zahl zu sprechen. Gemeinsam bedeutet, dass nur Teiler betrachtet werden, die beide Zahlen ohne Rest teilen. Genaugenommen handelt es sich bei den gemeinsamen Teilern um die Schnittmenge der Mengen aller Teiler beider Zahlen. Beispielsweise hat die Zahl 30 die Teiler 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 und 30. Die Zahl 12 hat die Teiler 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Gemeinsame Teiler beider Zahlen sind: 1, 2, 3 und 6. Die Zahl 12 ist nur Teiler von sich selbst, aber kein Teiler von 30. Die Zahlen 10, 15 und 30 sind nur Teiler von 30 aber keine Teiler von 12.
  • größter gemeinsamer Teiler: Nachdem wir festgestellt haben, dass eine Zahl mehrere Teiler und zwei Zahlen mehrere gemeinsame Teiler haben können, legen wir jetzt fest, dass uns nur der größte unter ihnen interessiert. Im Bereich der ganzen Zahlen ist damit ein ggT eindeutig festgelegt. Man kann also nicht nur sagen, dass 6 ein größter gemeinsamer Teiler von 30 und 12 ist, sondern man muss sogar sagen, 6 sei der größte gemeinsame Teiler von 30 und 12. Diese Eindeutigkeit des ggT wird durch das Attribut größter festgelegt.

Für Schüler ist der größte gemeinsame Teiler besonders in der Bruchrechnung wichtig. Beim Kürzen von Brüchen ist es von Vorteil, den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner zu kennen. Kürzt man den Bruch nämlich mit dem ggT ist er vollständig gekürzt. Zählen und Nenner haben dann keinen weiteren gemeinsamen Teiler mehr, durch den sie sich noch kürzen ließen. Hieran wird auch noch eine andere Eigenschaft des ggT deutlich: Alle gemeinsamen Teiler zweier Zahlen sind Teiler des ggT.

Rechenregeln für den ggT

Für den größten gemeinsamen Teiler gelten folgende Rechenregel:

Formel Bedeutung
Kommutativgesetzt für den ggT Kommutativgesetz
Distributivgesetz für den ggT Distributivgesetz
Assoziativgesetz für den ggT Assoziativgesetz
Vorzeichen im ggT Vorzeichen haben keinen Einfluss auf den ggT
ggT einer Zahl mit Null Der größte gemeinsame Teiler einer Zahl mit Null ist der Betrag der Zahl selbst
ggT einer Zahl mit Eins Der größte gemeinsame Teiler einer Zahl mit Eins ist die Eins selbst
Addition mit ggT Addition des Vielfachen der einen Zahl zur anderen ändert den ggT nicht

Den größten gemeinsamen Teiler ausrechen

Den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen kann man natürlich wie oben vorgeführt direkt bestimmen, indem man die Teilermengen beider Zahlen bildet, anschließend alle Zahlen wegstreicht, die nur eine der beiden Zahlen teilen, und unter den verbliebenen Zahlen die größte herraussucht.

Die vorgehen ist für kleinere Zahlen bis 50 – in Ausnahmefällen bis 100 – praktikabel. Für größere Zahlen wird es aber schnell unhandlich. Was ist beispielsweise der größte gemeinsame Teiler von 17.640 und 4.158?

Hier hilft uns die Methode der Primfaktorzerlegung weiter. Sie umfasst diese Schritte:

  • Bilde für beide Zahlen die Primfaktorzerlegung
  • Ermittle für alle Primfaktoren, die in beiden Primfaktorzerlegung vorkommen, die jeweils kleinere Potenz.
  • Bilde das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren mit der jeweils kleineren Potenz

Dies Vorgehen klingt erst einmal kompliziert wird aber an einem Beispiel gut verständlich. Wie bestimmen hierfür den größten gemeinsam Teiler von 17.640 und 4.158. Zuerst bilden wir die Primfaktorzerlegung von 17.640:

Primfaktorzerlegung von 17.640

Und danach die Primfaktorzerlegung von 4.158

Primfaktorzerlegung 4158

Die Primfaktoren, die in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen sind: 2, 3 und 7. Das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren in jeweils der kleineren Potenz ist:

ggT von 17640 und 4158

Dies ist der gesuchte größte gemeinsame Teiler.

Euklidischer Algorithmus

Die Berechnung des größten gemeinsamen Teilers über die Primfaktorzerlegung ist zwar schon etwas handlicher, aber immer noch sehr aufwändig. Gerade bei größeren Zahlen ist es ein nicht unerheblicher Aufwand eine Primfaktorzerlegung zu finden. Eine effizienztere Methode, den größten gemeinsamen Teiler zu finden, ist der Euklidische Algorithmus.

Der Euklidische Algorithmus ist ein sogenannter rekursiver Algorithmus. Das bedeutet, dass derselbe Rechenschritt mehrmals wiederholt wird, wobei sich die Zahlen, mit denen gerechnet wird, aus dem Ergebnis des letzten Rechenschritts ergeben.

Der Euklidische Algorithmus lautet:

  • Nimm zwei Zahlen a und b, so dass a > b ist.
  • Dividiere a / b mit Rest
  • Wenn der Rest 0 ist, bist du fertig. Der größte gemeinsame Teiler ist dann genau b.
  • Wenn der Rest größer als 0 ist, wiederhole die Rechnung für b und den Rest.

So können wir beispielsweise mit dem euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von: 10.893 und 24.531 ausrechnen:

Beispiel zum Euklidischen Algorithmus

Der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen ist also 3. Dies konnten wir mit dem Euklidischen Algorithmus sehr leicht berechnen. Dank der einfachen Rechenvorschrift, können wir die notwendigen Schritte solange mechanisch abarbeiten, bis wir das Ergebnis haben.

Funktionen

Als Funktion f, bzw. „Abbildung“, bezeichnen wir in der Mathematik eine Vorschrift f, die jedem Element x aus einer Menge M genau ein Element f(x) in einer zweiten Menge N zuordnet. Die Menge M heißt Definitionsbereich, die Menge N Wertebereich von fx wird als Argument oder Urbild bezeichnet, f(x) als Bild.

Die „Vorschrift“ für die Zuordnung kann verbal gegeben werden. Falls M und N jeweils Menge der reellen Zahlen (die Menge der reellen Zahlen) ist, so könnte sie lautet: „Ordne jeder Zahl x die Zahl zu, die genau doppelt so groß wie x ist“. Die verbale Angabe ist in der Regel aber zu umständlich oder ungenau. Funktionen werden deshalb üblicherweise über eine Rechenvorschrift definiert. Die eben genannte Zuordnung würden wir beispielsweise so notieren:

Beispiel für die Funktionsdefinition

Diese Funktionsdefinition wird so gelesen: „Die Funktion f ist eine Abbildung der reellen Zahl auf reelle Zahlen. Sie ordnet jeder reellen Zahl x die reelle Zahl f(x) = 2x zu.“

Wichtige Rechenregeln für Funktionen

Formel Bedeutung
Funktionsverkettung Funktionsverkettung
Umkehrfunktion f-1 ist die Umkehrfunktion von f
Surjektive Funktion f ist surjektiv
Bedingung für injektive Funktionen f ist injektiv

(In den Regeln für surjektive und bijektive Funktionen ist M der Definitionsbereich und N der Wertebereich.)

Definitionsbereich

Die Menge M der Zahlen, denen f eine Zahl aus N zuordnet, wird als „Definitionsbereich“ bezeichnet. Wir sagen, die Funktion sei für diese Menge definiert. Im oben genannten Beispiel war der Definitionsbereich als Menge der reellen Zahlen (die Menge der reellen Zahlen) angegeben. Sie ordnet also beispielsweise den Zahlen 26/11, aber auch -3,141 und „Wurzel aus 5“ einen Wert zu. Hätten wir den Definitionsbereich als Menge der natürlichen Zahlen (Menge der natürlichen Zahlen) angegeben, so dürften wir die Funktion nur auf natürliche Zahlen anwenden. Beispielsweise wäre der Wert von f(3/4) dann nicht mehr definiert (obwohl die Rechenvorschrift natürlich auch für 3/4 ein sinnvolles Ergebnis ergibt).

In der Regel wird der Definitionsbereich einer Funktion aber nur eingegrenzt, wenn wir eine Rechenvorschrift haben, die auf bestimmte Zahen nicht angewandt werden darf. Ein Beispiel für eine solche Rechenvorschrift ist:

Rechenvorschrift für 1/x

In diese Rechenvorschrift dürfen wir für x die Zahl 0 nicht einsetzen, weil 1 (wie jede andere Zahl auch) nicht durch 0 geteilt werden darf. Wollen wir eine Funktion mit dieser Rechenvorschrift definieren, so müssen wir die 0 explizit aus dem Definitionsbereich entfernen. Eine zulässige Funktionsdefinition wäre beispielsweise:

Funktion für 1/x

Wenn sich der Definitionsbereich einer Funktion aus dem Kontext ergibt, wird er manchmal nicht noch einmal extra angegeben. Zu einer vollständigen Funktionsdefinition gehört er aber unbedingt dazu.

Wertebereich

Die Menge N, aus der die Werte von f(x) stammen, heißt Wertebereich von f. Es ist nicht notwendig, dass es zu jedem Element y aus N eine Zahl x mit f(x) = y gibt. Das heißt, nicht jeder Wert aus dem Wertebereich muss auch tatsächlich als Wert der Funktion auftreten. Allerdings müssen wir sicherstellen, dass jeder Wert f(x) tatsächlich im Wertebereich der Funktion liegt, da die Funktionsdefinition ansonsten falsch ist.

Beispiel: Das doppelte einer reellen Zahl ist immer eine reelle Zahl, aber nicht in jedem Fall eine rationale Zahl. Eine rationale Zahl, ist eine Bruchzahl, z.B. einhalb, eine reelle Zahl ist Wurzel aus Zwei und auch Zwei mal Wurzel aus Zwei. Angenommen wir haben nun die Rechenvorschrift f(x) = 2x und nehmen als Definitionsbereich die reellen Zahlen. In diesem Fall dürfen wir nicht die rationalen Zahlen als Wertebereich wählen. Das Ergebnis von f angewandt auf Wurzel aus Zwei würde dann nämlich nicht mehr im Wertebereich liegen. Das wäre unzulässig.

Wenn wir für diese Funktion die reellen Zahlen als Definitionsbereich wählen, so muss auch der Wertebereich die Menge der reellen Zahlen sein. Wählen wir aber die Menge der rationalen Zahlen, d.h. der Bruchzahlen, als Definitionsbereich, so können wir den Wertebereich auch auf die rationalen Zahlen einschränken, da das doppelte einer rationalen Zahl immer eine rationale Zahl ist.

Wertetabelle

Eine Wertetabelle gibt einen Überblick über ausgewählte Funktionswerte. Wir erhalten eine Wertetabelle für eine Funktion f, indem wir in die linke Spalte einer Tabelle einen Wert für x und in der rechten Spalte den dazugehörigen Wert für f(x) eintragen. Es gibt keine Vorschrift, die besagt, für welche Werte eine Wertetabelle gebildet werden soll. So viele Möglichkeiten es gibt, Werte aus dem Definitionsbereich zu wählen, so viele mögliche Wertetabellen gibt es. Man kann daher immer nur von einer und nicht von der Wertetabelle einer Funktion sprechen.

Eine Wertetabelle für die Funktion f(x) = x2 könnte beispielsweise so aussehen:

x f(x)
-4 16
-3 9
-2 4
-1 1
-0,5 0,25
0 0
0,5 0,25
1 1
2 4
3 9
4 16

Mehrstellige Funktionen

Bisher haben wir Funktionen kennengelernt, deren Definitionsbereich aus einer einfachen Menge von Zahlen besteht. Es ist allerdings auch möglich, dass der Definitionsbereich aus dem Kreuzprodukt zweier oder mehrerer Mengen besteht. In diesem Fall hat unsere Rechenvorschrift zwei oder mehr Argumente. Ein Beispiel für eine solche Funktion ist:

Beispiel für zweistellige Funktion

Diese Funktion bildet Paare ganzer Zahlen auf einen Bruch ab.

Ein Beispiel für eine fünfstellige Funktion ist:

Beispiel für eine fünfstellige Funktion

Funktionen verketten

Angenommen, wir haben zwei Funktionen f und g. Nun können wir eine neue Funktion h definieren als die Abbildung, die entsteht, wenn wir zuerst g auf das Argument anwenden und auf das Ergebnis noch einmal fh ist also über diese Rechenvorschrift definiert:

Einfache verkettete Funktionen

In diesem Fall sprechen wir von einer Funktionsverkettung, die wir über ein Kreissymbol ausdrücken:

Funktionsverkettung

Bei der Funktionsverkettung müssen wir sicherstellen, dass nur zulässige Werte als Argumente von f auftreten. Das bedeutet, der Wertebereich von g muss eine Teilmenge des Definitionsbereiches von f sein.

Angenommen, g sei als eine Abbildung der Menge A auf die Menge B definiert und f als eine Abbildung der Menge C auf D, so muss sichergestellt sein, dass B eine Teilmenge von C ist. In diesem Fall ist h eine Abbildung von A auf D.

Umkehrfunktion

Eine Funktion g mit der Eigenschaft g(f(x)) = x bezeichnen wird als Umkehrfunktion von f. Eine Umkehrfunktion hebt die Wirkung einer Funktion auf. In der Mathematik bezeichnen wir die Umkehrfunktion zu f als f-1 und es gilt:

Umkehrfunktion in mathematischer Notation

Jede Funktion ist selbst wieder die Umkehrfunktion zu ihrer Umkehrfunktion. Es gilt also:

Umkehrfunktion der Umkehrfunktion

und

Reihenfolge der Verkettung von Umkehrfunktion und Funktion

Es gibt nicht zu jeder Funktion eine Umkehrfunktion. Damit eine Umkehrfunktion definiert ist, muss nämlich die Abbildung zwischen Abbild f(x) und Argument x einer Funktion eindeutig sein. Die Funktion muss also injektiv sein.

Beispiel: Wenn die Quadratfunktion folgendermaßen definiert ist, besitzt sie keine Umkehrfunktion:

Quadratfunktion über positive und negative reelle Zahlen

Zu jedem Wert f(x) (außer 0) gibt es nämlich zwei mögliche Argumente x, die auf diesen Wert abgebildet werden. So wird f(x) = 4 durch 2 und -2 erzeugt, 9 durch 3 und -3, 16 durch 4 und -4 usw. Wir können also keine Funktion definieren, die jedem Bild ein eindeutiges Urbild zuordnet.

Damit die Quadratfunktion eine Umkehrfunktion erhält, müssen wir ihren Definitionsbereich auf die Menge der positiven reellen Zahlen Die Menge der positiven reellen Zahlen einschränken:

Quadratfunktion über positive reelle Zahlen

Jetzt ist das 2 das einzige Urbild von 4, 3 von 9, 4 von 16 usw. Negative Zahlen kommen als Urbilder nicht mehr vor, da sie nicht zum Definitionsbereich von f gehören.

Die Umkehrfunktion von f ist:

Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der Quadratfunktion

Es gilt nämlich:

Wurzelfunktion auf Quadratfunktion angewandt

Auch der Definitionsbereich der Umkehrfunktion f-1 musste auf die Menge der positiven reellen Zahlen eingeschränkt werden. Negative Zahlen kommen nicht als Bilder der Quadratfunktion vor. Sie dürfen daher auch nicht als Argumente der Umkehrfunktion erscheinen.

Surjektive Funktionen

Wir haben oben gesagt, dass nicht jedes Element aus dem Wertebereich auch tatsächlich als Wert f(x) einer Funktion vorkommen muss. Funktionen bei denen dies dennoch so ist, bezeichnen wir als surjektive Funktionen. Mit anderen Worten:

Eine Funktion ist surjektiv, wenn es zu jedem Element y aus ihrem Wertebereich N ein Element x aus ihrem Definitionsbereich gibt, so dass y = f(x) ist.

Mathematisch können wir dies so ausdrücken:

Bedingung für surjektive Funktionen

Injektive Funktionen

Es gibt Funktionen, die mehrere Argumente auf denselben Wert abbilden. Andererseits gibt es Funktion, die jeweils nur ein Argument auf einen Wert abbilden. Solche Funktionen bezeichnen wir als injektive Funktionen. Mit anderen Worten:

Eine Funktion f ist injektiv, wenn aus der Tatsache, dass f(u) gleich f(v) ist folgt, dass u gleich v ist, bzw. wenn verschiedene Argument u und v immer auf verschiedene Werte f(u) und f(v) abgebildet werden.

Mathematisch können wir dies so ausdrücken:

Bedingung für injektive Funktionen

Bijektive Funktionen

Ein Funktion gilt als bijektiv, wenn sie sowohl surjektiv als auch injektiv ist. In diesem Fall stellt sie eine ein-eindeutige Beziehung zwischen den Elementen ihres Definitionsbereiches und ihres Wertebereiches dar: Jedem Element aus dem Wertebereich ist genau ein Element aus dem Definitionsbereich zugeordnet.

Folgen

Eine Folge bezeichnet in der Mathematik eine Abbildung der natürlichen Zahlen auf eine (Teil-)menge der reellen Zahlen. In einer Folge wird jeder natürlichen Zahl genau eine reelle Zahl zugeordnet. Diese reellen Zahlen bilden die Glieder der Folge. Sie werden als an bezeichnet für jede natürliche Zahl n. Die gesamte Folgen schreiben wir als (an). Es gilt also:

Allgemeine Darstellung einer Folge

Anders als die Elemente einer Menge haben die Glieder einer Folge eine feste Reihenfolge. Diese ist durch die Zuordnung zu den natürlichen Zahlen vorgegeben. Im Gegensatz zu den Elemente einer Menge kann eine Zahl zudem mehrfach als Glied einer Folge auftreten.

Bildungsgesetz

Häufig folgen die Glieder einer Folge einem vorgegebenen Bildungsgesetz. Ein solches Bildungsgesetz wird in runden Klammern geschrieben, um die Folge zu bezeichnen. Die Folge der Quadratzahlen notieren wir beispielweise so:

Folge der Quadratzahlen

Eine Folge die nur die Zahlen 1 und -1 enthält, kann beispielsweise nach diesem Bildungsgesetz gebildet werden:

Folge von eins und minus-eins

Rekursive Folgen

Im Bildungsgesetz für eine Folge kann auch auf frühere Folgenglieder Bezug genommen werden. Hierfür ist es notwendig, die ersten Glieder der Folge explizit anzugeben. Eine Folge, die auf diese Weise angegeben wird, bezeichnen wir als rekursive Folge. Eine sehr einfache rekursive Folge ist beispielsweise die Folge der geraden natürlichen Zahlen:

Rekursive Folge der geraden natürlichen Zahlen

Die bekannteste rekursive Folge ist sicherlich die Folge der Fibonacci-Zahlen. In der Fibonacci-Folge ist jedes Glied die Summer der beiden vorangegangenen Folgegliedern. Die ersten beiden Glieder werden jeweils als 1 definiert. Ihr Bildungsgesetz lautet:

Fibonacci-Folge

Wichtige Eigenschaften von Folgen

Monotonie von Folgen

Eine Folge gilt als monoton steigend wenn jedes ihrer Folgenglieder größer oder gleich dem vorangegangenen Folgenglied ist. Umgekehrt gilt sie als monoton fallend, wenn jedes Ihrer Folgenglieder kleiner oder gleich dem vorangegangenen ist. Ein Spezialfall der Monotonie ist die Konstanz. Eine Folge gilt als konstant, wenn jedes Folgenglied gleich dem vorangeganen ist.

Ein Beispiel für eine monoton steigende Folge ist:

Monoton steigende Folge

Hier ist jedes Folgenglied entweder genauso groß oder größer als das vorangegangene Glied. (Die eckigen Klammern, bei denen nur der untere Strich gezeichnet ist, sind sogenannte Abrundungsklammern. Sie bewirken, dass eine reelle Zahl auf die nächst kleinere Ganzzahl abgerundet wird.)

Ein weiteres Beispiel für eine monoton steigende Folge ist die Folge der Fibonacci-Zahlen. Bei der Fibonacci-Folge ist sogar jedes Glied größer als das vorangegen und kein Glied ist gleich dem vorangegangem. Solche Folgen bezeichnet man im Gegensatz zu den einfachen monoton steigenden Folgen auch als streng monoton steigend.

Ein Beispiel für eine streng monoton fallende Folge ist:

Streng monoton fallende Folge

Beschränktheit von Folgen

Eine weitere wichtige Eigenschaft einer Folge ist ihre Beschränkheit. Eine Folge gilt genau dann als beschränkt, wenn es zwei Zahlen s und S gibt, so dass jedes Glied der Folge größer oder gleich s und kleiner oder gleich S ist. Es gilt also:

Kriterium für die Beschränkheit einer Folge

Die Zahl s bezeichnet man als „untere Schranke“ der Folge, die Zahl S als „obere Schranke“.

Von den Folgen, die wir bisher kennengelernt haben ist beispielsweise die Folge (-1n) beschränkt. Jedes Glied der Folge ist größer oder gleich -1 und kleiner oder gleich 1. Ebenso ist die Folge (1/n) beschränkt. Hier ist jedes Folgenglied kleiner oder gleich 1 und größer als 0. Dagegen ist beispielsweise die Folge (n2) nicht beschränkt. Sie besitzt keine obere Schranke. Zu jeder Zahl S kann eine Zahl n angegeben werden (z.B. die Wurzel aus S + 1), so dass an größer als S ist.

Konvergenz von Folgen

Wenn es eine Zahl a gibt, so dass für jede beliebig kleine Umgebung um a nur eine endliche Anzahl von Gliedern der Folge (an) gibt, die außerhalb dieser Umgebung liegen, so sagen wird, dass die Folge gegen a konvergiert. Sei ε eine beliebig kleine Zahl, so muss für fast alle Glieder der Folge gelten:

Kriterium für Konvergenz

Diese Bedingung darf nur von einer endlicher Anzahl m von Folgegliedern verletzt werden. Dabei ist es egal ob m gleich 3, 3.000 oder 3 x 1025 ist. Wichtig ist nur, dass m endlich ist.

Die Zahl a, gegen die die Folge konvergiert, bezeichnen wir als ihren Grenzwert. Eine Folge, die nicht konvergiert, bezeichnen wir als „divergent“ (sie „divergiert“).

Die Konvergenz einer Folge wird über das Limes-Zeichen ausgedrückt:

Limes-Zeichen

Das Limes-Zeichen besteht aus „lim“ als Abkürzung für „Limes“ (latein für „Grenze“) und darunter der Angabe „n → ∞“. Es bedeutet: „Der Grenzwert, dem sich die Folge an beliebig weit annähert, wenn n unendlich groß wird.“

Die Folge (1/n) konvergiert beispielsweise gegen 0. Für jede Zahl ε kann eine Zahl Beispiel für Konvergenz angegeben werden, so dass für alle m mit m >= n gilt, dass am kleiner ist als 0 + ε aber größer als 0. In mathematischer Schreibweise:

Konvergenz der harmonischen Folge

Dagegen konvergiert die Folge (n2) nicht, d.h. sie divergiert. Dies können wir leicht daran erkennen, dass sie streng monoton steigt und nach oben unbeschränkt ist. Sie verlässt daher jeden endlichen Bereich nach einer endlichen Anzahl von Schritten. Der Grenzwert dieser Folge ist nicht definiert.

Eine andere divergente Folge ist ((-1)n). Sie ist zwar beschränkt, aber da unendlich viele Glieder dieser Folge gleich 1 und ebenfalls unendlich viele Glieder gleich -1 sind, muss jeder Bereich, der höchsten eine endliche Anzahl von Gliedern nicht enthält, 1 und -1 umfassen. Damit ist er aber nicht mehr beliebig klein.

Wichtige Folgen

Einige Folgen spielen in der Mathematik eine besondere Rolle. Sie werden in diesem Abschnitt vorgestellt.

Arithmetische Folge

Eine arithmetische Folge ist eine Folge, in der je zwei aufeinander folgenden Folgeglieder denselben Abstand haben. Für jedes n > 1 gilt also:

Abstand der Glieder in einer arithmetischen Folge

Im allgemeinen lautet das das Bildungsgesetzt für arithmetische Folgen:

Allgemeines Bidlungsgesetz für arithmetische Folgen

Eine arithmetische Folge ist streng monoton steigend, wenn c > 0 ist. Ist c < 0, ist sie streng monoton fallend. Falls c = 0 ist, ist sie konstant.

Die einfachste arithmetische Folge ist die Folge der natürlichen Zahlen. Bei ihr ist c = 1 und b = 0:

Folge der natürlichen Zahlen

Die folge der natürlichen Zahlen ist (selbstverständlich) streng monoton steigend.

Ein Beispiel für eine streng monoton fallende Folge ist die Folge der negativen geraden Ganzzahlen kleiner als -10. Wir erhalten sie mit c = -2 und b = -10:

Beispiel für eine streng monoton fallende Folge

Geometrische Folge

Eine geometrische Folge zeichnet sich dadurch aus, dass die Quotienten von je zwei aufeinanderfolgenden Glieder gleich sind:

Verhältnis der Glieder in einer geometrischen Folge

Das allgemeine Bildungsgesetzt geometrischer Folgen lautet:

Allgemeines Bildungsgesetz geometrischer Folgen

Vorausgesetzt c ist positiv, so ist eine geometrische Folge für q > 1 streng monoton steigend und für 0 <= q < 1 streng monoton fallend. Ist q = 1, so hat die Folge den konstanten Wert c, ist q = 0, den konstanten Wert 0.

Ist q < 0, so ändert sich das Vorzeichen der Glieder mit jedem Schritt. Auf ein Folgenglied mit positivem Vorzeichen folgt eines mit negativen Vorzeichen und umgekehrt. Eine Folge mit dieser Eigenschaft wird als „alternierend“ bezeichnet.

Ein Beispiel für eine geometrische Folge ist die Folge der Exponenten von 2. Bei ihr ist c = 2 und q = 2:

Geometrische Folge der Exponenten von 2

Diese Folge ist streng monoton steigend.

Ein Beispiel für eine streng monoton fallenden geometrische Folge erhalten wir mit c = 32 und q = 1/2:

Streng monoton fallende geometrische Folge

Mit c = 1 und q = -3 erhalten wir eine alternierende Folge:

Alternierende geometrische Folge

Dreisatz

Mit Hilfe des Dreisatzes lässt sich aus einem bekannten Verhältnis zwischen zwei Mengen oder Werten auf andere Mengen oder Werte schließen. Anstatt dabei aus einem Verhältnis direkt auf ein anderes zu schließen, vereinfacht man die Berechnung, indem man in einem Zwischenschritt erst ein einfacheres Verhältnis berechnet.

Beispiel für den Dreisatz

Ein einfaches Beispiel für den Dreisatz lautet:

  1. Das bekannte Verhältnis: „500 Gramm Kirschen kosten 2,50 Euro“
  2. Das einfache Verhältnis: „100 Gramm Kirschen kosten 50 Cent“
  3. Das gesuchte Verhältnis: „700 Gramm Kirschen kosten 3,50 Euro“

In diesem Beispiel, macht man es sich zunutze, dass es einfacher ist, zuerst den Preis von 100 Gramm Kirschen zu berechnen und daraus auf den Preis von 700 Gramm zu schließen, als auf dem direkten Weg 700 Gramm durch 500 Gramm zu dividieren und mit 2,50 Euro zu multiplizieren.

Einfacher Dreisatz

Je nach Situation muss man den beim Dreisatz zwischen dem einfachen und dem umgekehrten Dreisatz unterscheiden. Der einfache Dreisatz wird angewandt, wenn eine Erhöhung des einen Wertes zu einer Erhöhung des anderen Wertes im selben Verhältnis führt. Man sagt hier, dass die beiden Werte proportional zueinander sind.

Typische Anwendungsfälle für den einfachen Dreisatz sind Preisberechnungen, wie in dem genannten Beispiel. Ein anderes Beispiel für den einfachen Dreisatz wäre:

  1. Fünf Äpfel wiegen einen Kilogramm.
  2. Ein Apfel wiegt zweihundert Gramm
  3. Sieben Äpfel wiegen 1,4 Kilogramm

Charakteristisch für den einfachen Dreisatz ist, dass das Verhältnis (der Quotient) der beiden Werte immer gleich bleibt.

Umgekehrter Dreisatz

Der umgekehrte Dreisatz wird dagegen überall dort angewandt, wo eine Erhöhung des einen Wertes zu einer Verringerung des anderen Wertes führt. Hier sagt man, die beiden Werte seien anti-proportional zu einander.

Ein Beispiel für den umgekehrten Dreisatz ist:

  1. Zwei Bauarbeiter benötigen 5 Stunden, um eine Mauer zu errichten.
  2. Ein Bauarbeiter alleine benötigt 10 Stunden.
  3. Vier Bauarbeiter benötigen gemeinsam nur 2,5 Stunden.

In diesem Fall muss man also die Dauer, die ein einzelner Bauarbeiter benötigt, nicht mit der Anzahl der Bauarbeiter multiplizieren, sondern durch sie dividieren, um auf den gesuchten Wert zu kommen. Der umgekehrte Dreisatz zeichnet sich dadurch aus, dass das Produkt der beiden Werte immer gleich bleibt.

Ein anderes Beispiel für den umgekehrten Dreisatz ist:

  1. Wenn ich 80 km/h fahre, benötige ich 3:45 Stunden um eine Strecke von 300 Kilometern zurück zu legen.
  2. Wenn ich 100 km/h fahre, benötige ich 3 Stunden für dieselbe Strecke.
  3. Wenn ich nur 50 km/h fahre, benötige dagegen 6 Stunden.

Häufige Fehler bei der Anwendung des Dreisatzes

Bevor man den Dreisatz anwendet, muss man sich sicher sein, dass er in der betrachteten Situation wirklich zutrifft. Das ist nur dann der Fall, wenn die eine Größe tatsächlich die andere Größe beeinflusst, und wenn die beiden Größen in einer linearen Abhängigkeit zueinander stehen.

Ein Fehler der ersten Sorte besteht darin, den Einfluss einer Größe auf die andere anzunehmen, wo keiner besteht. Eine Frage, bei der die Anwendung des Dreisatzes falsch wäre, ist beispielsweise: „Wenn eine Frau schwanger ist, dauert es neun Monate, bis das Baby geboren wird. Wie lange dauert es, wenn zwei Frauen schwanger sind?“

Dass die Anwendung des Dreisatzes hier völlig absurd wäre, ist auf den ersten Blick deutlich. Es gibt aber auch andere Fälle, in denen der Dreisatz auf zwei Größen nicht angewandt werden kann, die nicht ganz so offensichtlich sind. Beispielsweise kann nicht aus einem bekannten Verhältnis zwischen der Einwohnerzahl eines Landes und seinem Bruttosozialprodukt auf die Einwohnerzahl eines anderen Landes geschlossen werden, dessen Bruttosozialprodukt bekannt ist. Hier besteht zwar ein gewisser Zusammenhang, allerdings haben auch noch andere Größen Einfluss auf das Ergebnis, so dass der Dreisatz alleine nicht weiterhilft.

Ein Fehler der zweiten Sorte tritt überall dort auf, wo ein linearer Zusammenhang vermutet wird, obwohl keiner besteht. Beispielsweise hat ein Quadrat mit einer Kantenlänge von zwei Zentimetern eine Fläche von vier Quadratzentimetern. Ein Quadrat mit einer Kantenlänge von einem Zentimeter hat aber nicht eine Fläche von zwei Quadratzentimetern, sondern von lediglich einem Quadratzentimeter.

Um Fehler dieser Art auszuschließen, sollte immer überprüft werden, dass die Verdoppelung des einen Wertes zu einer Verdoppelung (einfacher Dreisatz), bzw. Halbierung (umgekehrter Dreisatz) des anderen Wertes führt.