Summenzeichen

Das Summenzeichen (auch als „Summationszeichen“ oder „Summationssymbol“ bezeichnet) wird verwendet, wenn wir eine Summe über endlich oder unendlich viele Glieder einer Reihe bilden wollen, wobei der Wert der Glieder von einer Variablen abhängt. Eine Summe wird mit dem Summenzeichen in dieser Weise geschrieben:

Summenzeichen

Zu dem Summenzeichen gehören verschiedene Bestandteile, die oben farblich markiert sind:

  • Die Laufvariable, bzw. der Laufindex (blau): Dies ist die veränderliche Variable der Summe. Für jeden Wert der Laufvariable gibt es genau einen Summanden. Für die Laufvariable, bzw. den Laufindex werden üblicherweise die Buchstaben ijk oder l gewählt.
  • Der Startwert (rot): Dies ist der kleinste Wert, den die Laufvariable annimmt. Der Startwert ist eine ganze Zahl.
  • Der Endwert (grün): Dies ist der größte Wert, den die Laufvariable annimmt. Der Endwert ist eine ganze Zahl. Falls hier das Unendlichkeitszeichen (eine liegende Acht: ∞) steht, wird die unendliche Summe gebildet, wobei die Laufvariable den Wert des Startwerts und jeder Ganzzahl größer als dem Startwert annimmt.
  • Die Summanden (orange): Die Summanden bestehen üblicherweise aus einer Funktion, die von der Laufvariable abhängt.

Wenn die Summe wie oben mit Start- und Endwert geschrieben ist, nimmt die Laufvariable den Wert jeder ganzen Zahl zwischen dem Start- und dem Endwert ein (inklusive Startwert und Endwert). Für jeden ihrer Werte wird genau ein Summand addiert. Ein Beispiel für solch eine Summe ist die Summe aller Quadrate der ganzen Zahlen zwischen eins und fünf:

Beispiel für das Summenzeichen: Die Summe aller Quadrate der ganzen Zahlen von eins bis fünf

Die Laufvariable ist hier i, der Startwert 1, der Endwert 5 und die Summanden werden über die Funktion i2 gebildet, wobei i alle Werte von eins bis fünf einnimmt.

Rechenregeln für das Summenzeichen

Das Summenzeichen ist eine verkürzende Schreibweise für Summen. Deshalb können wir einzelne Summanden aus dem Summenzeichen herausnehmen und einzeln notieren:

Summanden ausgehend vom Endwert aus dem Summenzeichen herausnehmen

Hier wurde im ersten Schritt der Summand an aus dem Summenzeichen herausgenommen und einzeln notiert. Der Endwert wurde dafür um eins veringert. Danach wurde auch der Summand an-1 aus dem Summenzeichen herausgenommen. Der Endwert wurde dafür noch einmal um eins verringert. Im letzten Schritt wurden alle Summanden aus dem Summenzeichen herausgenommen.

Natürlich können wir nicht nur vom Endwert ausgehen, um Summanden einzeln zu notieren, sondern auch vom Startwert. Dabei muss der Startwert entsprechend angepasst werden:

Summanden ausgehend vom Startwert aus dem Summenzeichen herausnehmen

Wir können eine Summe auch in mehrere Teilsummen aufteilen:

Summen aufteilen

So können wir auch Summanden für Laufwerte zwischen Start- und Endwert einzeln notieren:

Innere Summanden lassen sich ebenfalls einzeln schreiben

Summen über konstante Summanden

Manchmal kommt es vor, dass die einzelnen Summanden gar nicht vom Wert der Laufvariable abhängen. ai ist dann gleich einer Konstante c. In diesen Fällen können wir die Summe einfach berechnen, indem wir den Wert der Konstante mit der Anzahl der Summanden multiplizieren. Die Anzahl der Summanden in einer Summe entspricht der Differenz zwischen Endwert und Startwert plus eins:

Summe über konstante Summanden

Das sieht beispielsweise so aus:

Beispiel für eine Summe über konstante Summanden

Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz besagt, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge die Summanden einer Summe aufsummiert werden. Dies können wir uns zunutze machen, wenn die Summanden selbst wieder Summen enthalten:

Anwendung des Assoziativgesetz auf das Summenzeichen

Distributivgesetz

Das Distributivgesetz besagt, dass es egal ist, ob man zuerst jeden Summanden mit einem Faktor multipliziert und danach die Summe der Produkte bildet, oder ob man zuerst die Summanden addiert und anschließend die Summe mit dem Faktor multipliziert. Dies gilt natürlich auch für das Summenzeichen. So können wir Faktoren aus den Summanden ausklammern und vor das Summenzeichen schreiben:

Anwendung des Distributivgesetz auf das Summenzeichen

Indexverschiebung

Die Laufvariable nimmt alle Werte zwischen Startwert und Endwert ein und wird in die Summanden eingefügt. Wir können den Startwert und den Endwert jeweils um denselben Betrag erhöhen oder veringern. Wenn wir den Wert, den wir in die Summanden einsetzen, um denselben Betrag mit umgekehrten Vorzeichen anpassen, erhalten wir weiterhin dieselbe Summe. Falls wir also beispielsweise Start- und Endwert jeweils um drei erhöhen, müssen wir von der Laufvariablen drei abziehen, bevor wir sie im Summanden einsetzen:

Indexverschiebung: Allgemeines Vorgehen

Wie die Indexverschiebung funktioniert versteht man am besten, wenn man sich ein Beispiel dazu ansieht:

Beispiel für die Indexverschiebung

Die Indexverschiebung ist besonders dann praktisch, wenn wir zwei Summen addieren möchten, bei denen Startwert und Endwert um denselben Betrag voneinander abweichen:

Anwendung der Indexverschiebung

Spezielle Notationsformen

Die Art in der das Summenzeichen geschrieben wird, kann manchmal von der oben aufgeführten Form abweichen. Zwei Spezialfälle wollen wir hier betrachen: Summen über Summen und Summen über Indexmengen.

Zwei Laufvariablen: Summen über Summen

Es kommt immer mal wieder vor, das in einer Rechnung Summen über Summen gebildet werden, so dass zwei Summenzeichen direkt hintereinander stehen. Diese Summenzeichen lassen sich zusammenfassen, indem man beide Laufvariablen an einem Summenzeichen notiert:

Zwei Laufvariablen an einem Summenzeichen

Unterhalb des Summenzeichen werden beide Laufvariablen mit ihrem jeweiligen Startwert notiert, darüber beide mit ihrem jeweiligen Endwert. Um deutlich zu machen, welcher Endwert zu welcher Laufvariable gehört, muss die jeweilige Laufvariable explizit angegeben werden.

Wenn wir also ein Summenzeichen mit zwei Laufvariablen haben, so bedeutet dies, dass sie Summe über alle Kombinationen von möglichen Werten der Laufvariablen gebildet werden:

Beispiel für zwei Laufvariablen an einem Summenzeichen

Summen über Indexmengen

Bis jetzt haben wir nur Summen betrachtet, bei denen die Indexwerte aus einer kontinuierlichen Abfolge ganzer Zahlen stammen. Manchmal möchte man jedoch über andere Mengen summieren. In diesem Fall werden die Laufvariable und die Menge unterhalb des Summationszeichens notiert. Der Endwert entfällt hierbei. Sei A eine Menge, so wird eine Summe über Indizees aus A so dargestellt:

Summe über eine Indexmenge

Die Summe der Wurzeln aus 16, 81 und 144 kann beispielsweise so notiert werden:

Beispiel für eine Summe über eine Indexmenge

Ein anderes Beispiel ist die Summe aller Teiler von 20:

Beispiel für eine Summe über eine kokmplexere Indexmenge

(Die Menge unterhalb des Summenzeichen ist folgendermaßen zu verstehen: „Alle natürlichen Zahlen n mit der Eigenschaft, dass es irgendeine natürliche Zahl m gibt, so dass n mal m gleich zwanzig ist.“)

Reihen in der Mathematik

Eine Reihe ist in der Mathematik eine Summe über die Glieder einer Folge. Die Reihe über die ersten n Glieder einer Folge (an) wird als sn bezeichnet. Mathematisch werden Reihen über das Summenzeichen notiert und es gilt:

Allgemeine Definition von Reihen

Einige wichtige Reihen in der Mathematik sind:

Formel Bedeutung
Gaußsche Summenformel Gaußsche Summenformel
Arithmetische Reihe - inline Arithmetische Reihe
Geometrische Reihe - inline Geometrische Reihe
Geometrische Reihe mit q < 1 - inline Unendliche geometrische Reihe für -1 < q < 1

Endliche und unendliche Reihen

Wir unterscheiden zwischen endlichen und unendlichen Reihen, je nachdem, ob n endlich ist oder nicht. Der Wert einer unendlichen Reihe beträgt:

Wert einer unendlichen Reihe

Dieser Wert ist nur definiert, falls die Reihe für große Werte von n konvergiert. Das bedeutet, es muss einen Wert s geben, so dass für jeden beliebig kleinen Bereich um s ein n’ existiert mit der Eigenschaft, dass alle sn für n > n’ innerhalb dieses Bereiches liegen.

Wichtige Reihen in der Mathematik

Arithmetische Reihe

Eine arithmetische Reihe ist die Summe über die ersten n Glieder einer arithmetischen Folge. Für jede arithmetische Folge gilt ein Bildungsgesetz in dieser Form:

Arithmetische Folge

Eine arithmetische Reihe ist somit definiert als:

Arithmetische Reihe

Für die Summe über die ersten n natürlichen Zahlen gilt die sogenannte Gaußsche Summenformel:

Gaußsche Summenformel

Somit gilt für arithmetische Reihen:

Arithmetische Reihe vollständig

Geometrische Reihe

Eine geometrische Reihe ist eine Summe über n Glieder einer geometrischen Folge. Für jede geometrischen Folge gilt ein Bildungsgesetz in dieser Form:

Geometrische Folge

Eine geometrische Reihe ist somit definiert als:

Geometrische Reihe

Falls q kleiner als 1 und größer als -1 ist, konvergiert die Geometrische Reihe. Dann gilt:

Geometrische Reihe für q < 1

Für c = 1 und q = 1/2 gilt beispielsweise:

Beispiel für die Konvergenz der geometrischen Reihe

Reihen in der Mathematik

Reihen kommen in der Mathematik relativ häufig vor. Dabei handelt es sich um eine unendliche Folge von Zahlen, die nach einem bestimmten Schema angeordnet sind. Eine Reihe kann zum Beispiel aus den natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5,… bestehen.

Bei einer solchen Reihe wird jede Zahl um 1 erhöht. Das bedeutet, dass die nächste Zahl immer um 1 größer ist als die vorherige.
Natürlich können Reihen auch anders aussehen. So kann zum Beispiel die Reihe 2, 4, 6, 8,…bestehen. In diesem Fall wird jede Zahl um 2 erhöht. Auch hier gilt wieder: Die nächste Zahl ist immer um 2 größer als die vorherige.

Quotientenregel

Die Quotientenregel besagt, wie der Quotient zweier Funktionen abgeleitet wird. Sie lautet:

Quotientenregel

In der Kurzschreibweise wird die Quotientenregel häufig auch so notiert.

Kurzform der Quotientenregel

Beispiele für die Quotientenregel

Die Quotientenregel wird am besten an ein paar Beispielen deutlich. Als erstes wollen wir dafür diesen Bruch ableiten:

Erstes Beispiel für die Quotientenregel

Zunächst leiten wir Zähler und Nenner jeweils einzeln ab. Die Ableitung des Zählers ist:

Ableitung des Zählers

Und die Ableitung des Nenners lautet:

Ableitung des Nenners

Wenn wir die Ableitungen in die Formel für die Quotientenregel einsetzen, erhalten wird:

Anwendung der Quotientenregel

Als nächstes sehen wir uns die Ableitung für den Tangens an. Da der Tangens als Quotient aus Sinus und Cosinus gebildet wird, können wir die Quotientenregel für die Ableitung nutzen:

Ableitung des Tangens mit der Quotientenregel

Herleitung der Quotientenregel

Mit der Kehrwertregel können wir die Quotientenregel als Spezialfall der Produktregel herleiten. Dafür betrachten wir den Quotienten der beiden Funktionen als Produkt des Zählers mit dem Kehrwert des Nenners:

Quotient als Produkt des Zählers mit dem Kehrwert des Nenners

Unter Anwendung der Quotientenregel erhalten wir:

Herleitung der Quotientenregel

Prozentrechnung

Unter der Prozentrechnung versteht man das Rechnen mit Prozenten. Die Prozente geben hierbei das Verhältnis zweier Größen in Hundertsteln an. Grundlegend für die Prozentrechnung sind in allen Formeln die Begriffe ProzentsatzProzentwert und Grundwert. Bei jeder für die Prozentrechnung wichtige Formel spielen sie eine Rolle. Nach einigen Formeln, die die Verwendung des Prozentzeichens veranschaulichen, werden die Formeln für die Grundbegriffe des Prozentrechnens dargestellt.

Grundlagen der Prozentrechnung

Das Prozentzeichen entspricht der Division durch Hundert. Die Angabe „x Prozent“ kann deshalbt auch als „x Hundertstel“ verstanden werden Die folgenden Formeln veranschaulichen die Verwendung des Prozentzeichens:

Ein Prozent

Hundert Prozent

Vierzig Prozent

Beliebiege Prozentzahl

Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert

Die Begriffe GrundwertProzentsatz und Prozentwert liegen allen Formeln der Prozentrechnung zu Grunde. Prozentwert und Grundwert haben dabei stets dieselbe Einheit, während der Prozentsatz eine einfache Zahl ist. Die folgenden Formeln veranschaulichen den Zusammenhang dieser drei Begriffe:

Prozentsatz

Berechnung des Prozentwerts

Berechnung des Grundwerts

Achtung: Das Prozentzeichen darf nicht mit einer Einheit wie „Meter“ oder „Gramm“ verwechselt werden. Die Multiplikation, bzw. Division mit 100% in den obigen Formeln dient nur der Veranschaulichung. Da 100% = 1 ist, ändert sie nichts am Ergebnis.

Einge Beispielrechnungen sollen die Verwendung der Formeln zur Prozentrechnung verdeutlichen:

Berechnung des Prozentsatzes

Der Prozentsatz gibt das Verhältnis von Prozentwert zu Grundwert in Prozent an. Er wird berechnet, indem der Prozentwert durch den Grundwert geteilt und mit 100 Prozent multipliziert wird.

Angenommen es soll berechnet werden, wie viel Prozent vier Kilogramm von 20 Kilogramm sind. Die vier Kilogramm entsprechen hier dem Prozentwert, die 20 Kilogramm dem Grundwert. Der Prozentsatz berechnet sich folgendermaßen:

Beispiel für den Prozentsatz

Berechnung des Prozentwertes

Der Prozentwert gibt an wie viel der durch den Prozentsatz bestimmte Teil einer Menge wert ist, deren Grundwert bekannt ist. Er wird berechnet, indem Grundwert und Prozentsatz multipliziert und durch einhundert Prozent dividiert werden.

Gehören zum Beispiel Herrn Müller 23 Prozent eines Grundstückes und das Grundstück ist 500.000 Euro Wert, so kann er berechnen, wie viel sein Anteil des Grundstückes Wert ist. Die 23 Prozent bilden den Prozentsatz. Die 500.000 Euro den Grundwert. Der Wert seines Anteils entspricht dem Prozentwert. Diesen berechnet er so:

Beispiel für den Prozentwert

Berechnung des Grundwertes

Wenn der Wert eines Anteils (Prozentwert) und die Größe dieses Anteils im Verhältnis Gesamtmenge (Prozentsatz) bekannt sind, gibt der Grundwert den Wert der Gesamtmenge an. Der Grundwert wird berechnet, indem der Prozentwert durch den Prozentsatz geteilt und mit einhundert Prozent multipliziert wird.

Fährt man beispielsweise mit dem Auto auf der A7 von Hamburg über Hannover nach Ulm, so beträgt die Strecke von Hamburg nach Hannover etwa 160 Kilometer. Dies entspricht etwa 23 Prozent der Gesamtstrecke. Wie weit ist die Fahrt von Hamburg nach Ulm insgesamt? Die Strecke von Hamburg nach Hannover ist ein Teil der Gesamtstrecke und entspricht damit dem Prozentwert. Ihr Verhältnis zur Gesamtstrecke (23 Prozent) sind der Prozentsatz. Die Gesamtstrecke nach Ulm entsprechen dem Gesamtwert

Beispiel für den Grundwert

Anwendung der Prozentrechnung

Prozentrechnung ist vor allem dort wichtig, wo die Größe einer Teilmenge ins Verhältnis zur Gesamtmenge gesetzt wird. Ein Beispiel hierfür sind Wahlergebnisse, die immer in Prozent angegeben werden. So sagt man beispielsweise, dass bei der Bundestagswahl 2017 11,7 Prozent aller Wahlberechtigten in Hamburg und 9 Prozent aller Wahlberechtigten in Bayern den Grünen ihre Erststimme gegeben haben.

Würde man dagegen absolute Zahlen angeben, könnte man sagen, dass die Grünen in Hamburg 114.485 Erststimmen und in Bayern 661.356 Erststimmen bekommen haben. Auf diese Weise wären die Ergebnisse aber schlecht vergleichbar. Auf den ersten Blick sieht es so aus, als ob das Ergebnis der Grünen in Bayern beinahe sechsmal so gut war wie in Hamburg. Die Ergebnisse lassen sich aber erst richtig vergleichen, wenn man sie ins Verhältnis zur Gesamtzahl der Wähler in beiden Bundesländern setzt (1.296.656 in Hamburg und 9.522.371 Bayern).

In den prozentualen Wahlergebnissen ist die absolute Zahl der Stimmen schon ins Verhältnis zur Gesamtzahl der Wähler gesetzt. Die prozentualen Wahlergebnisse für verschiedene Regionen oder in verschiedenen Wahlen sind so viel einfacher zu vergleichen. Hierbei entspricht das prozentuale Wahlergebnis dem Prozentsatz, die absolute Zahl der Stimmen dem Prozentwert und die Gesamtheit aller Wähler dem Grundwert.

Verschiedene Beispiele zur Prozentrechnung

Steigung: Von Straßen oder Schienen sagt man manchmal, sie würden um einen bestimmten Prozentsatz steigen. In diesem Fall gibt die Prozentangabe das Verhältnis des vertikalen Höhenunterschieds (h) zur horizontal zurückgelegten Strecke (s) an. Die Formel hierfür lautet:

Formel für die Steigung

Beträgt die Steigung also 7,5 % und werden 1,5 Kilometer zurückgelegt, beträgt der Höhenunterschied (h) demnach:

Beispiel für die Steigung

Während der Fahrt über 1,5 Kilometer wurden also 112,5 Höhenmeter überwunden.

Gehaltsteigerung

Wenn das Gehalt von einem auf das nächste Jahr um 5 Prozent steigt, bedeutet dies, dass das neue Gehalt 105 Prozent des alten entspricht. Es wird folgendermaßen berechnet:

Beispiel für Gehaltsteigerung

Für die Berechnung einer Steigerung um einen bestimmten Prozentsatz, muss man diesen Prozentsatz zu hundert addieren und mit dem Grundwert multiplizieren.

Erhöhung und Senkung um denselben Prozentsatz

Ein häufiger Irrtum im Rechnen mit Prozenten entsteht, wenn mehrere zeitliche Änderungen in Prozentsätzen angegeben werden. Hierbei wird fälschlicherweise der Prozentsatz häufig nur auf den ersten Wert angewendet. Tatsächlich muss die Prozentangabe aber immer auf den aktuellen Wert angewendet werden. Spricht man beispielsweise davon, dass der Preis für eine Ware erst um 10 Prozent steigt und danach um 10 Prozent sinkt, ist er hinterher entgegen der Intuition nicht wieder derselbe. An einer einfachen Beispielaufgabe wird dies schnell ersichtlich. Der ursprüngliche Preis P0 beträgt hier 40 Euro. Er steigt zunächst um 10 Prozent und beträgt danach:

Erste Preissteigerung

Wenn der Preis wieder um zehn Prozent sinkt, beträgt er:

Preissenkung

Wie man sieht ist der Preis nach der Senkung um 10 Prozent um 40 Cent niedrieger als der ursprüngliche Preis.

Verschiedene Prozentsätze

Ein weiteres häufiges Missverständnis entsteht, wenn mehrere Prozentsätze in derselben Rechnung verwendet werden. Nehmen wir beispielsweise an, der Frauenanteil in einem Unternehmen betrug bisher 10 Prozent. Nach einigen Maßnahmen von Seiten der Personalabteilung, beträgt er heute 20 Prozent. Dann ist der Anteil der Frauen einerseits um 10 Prozent gesteigen, andererseits ist die absolute Zahl der Mitarbeiterinnen um 100 Prozent gestiegen. Die beiden Prozentangaben dürfen nicht verwechselt werden. Zur besseren Unterscheidung spricht man deshalb davon, dass der Anteil um 10 Prozentpunkte gestiegen sei.

Wie lernt man Prozentrechnen am besten?

Nicht nur für die Schule, sondern vor allem auch für den praktischen Alltag ist es wichtig, die für die Prozentrechnung wichtigsten Formeln auswendig zu kennen und sicher zu beherrschen. Wie die Beispiele, die oben genannt wurden, zeigen, spielt das Rechnen mit Prozenten in vielen praktischen Bereichen eine wichtige Rolle. Immer wieder kann man mit der Prozentrechnung Aufgaben lösen, die sich ansonsten als äußerst schwierig darstellen. Da Zeitungen und anderen Medien sehr häufig wichtige Daten in Prozenten angeben, ist zudem wichtig, dass man für ihre Prozentrechnung eine Erklärung hat. Wenn man die Daten nämlich erst einmal hinterfragt, stellen sie sich häufig als mangelhaft oder bei weitem nicht so aussagekräftig dar, wie es die Medien gerne verbreiten. Auch für käufmännische Berufe ist diese Art der Rechnung von Bedeutung. Unter anderem basiert die gesamte Zinsrechnung auf dem Rechnen in Hundertstel. Schüler, die sich für solche Berufe interessieren sollten schon früh die Prozentrechnung mit Excel üben, da dies das bei weitem wichtigste Hilfsmittel im kaufmännischen Büro ist. Schließlich ist festzuhalten, dass auch bei der Prozentrechnung nur Übungen weiterhelfen, sie sicher zu beherrschen.

Produktregel

Die Produktregel besagt, wie die Ableitung von einem Produkt zweier Funktionen gebildet wird. Sie lautet:

Produktregel

In Worten lautet die Produktregel:

Das Produkt zweier Funktionen wird abgeleitet, indem man das Produkt aus der Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten Funktion zum Produkt der ersten Funktion mit der Ableitung der zweiten Funktion addiert.

Beispiele für die Produktregel

Am anschaulichsten ist die Produktregel, wenn wir sie uns an einigen Beispielen ansehen. Beginnen wir mit:

Das Produkt zweier Funktionen

In diesem Beispiel lauten die beiden Funktionen, die miteinander multipliziert werden:

Die beiden zu multiplizierenden Funktionen

Wir bilden jeweils die Ableitung:

Die Ableitungen der ersten multiplizierten Funktion

und:

Die Ableitungen der zweiten multiplizierten Funktion

Mit der Produktregel folgt:

Anwendung der Produktregel

Als nächstes sehen wir uns diese Funktion an:

Ein weiteres Beispiel für die Multiplikation von Funktionen

Zunächst leiten wir beide Faktoren wieder jeweils einzeln ab:

Die Ableitungen der beiden Funktionen

Mit Hilfe der Produktregel bilden wir jetzt die Ableitung des Produktes:

Die Ableitung des Produkts

Mehrfache Anwendung der Produktregel

Wir können die Produktregel natürlich auch mehrfach anwenden, wenn wir eine Funktion ableiten sollen, die das Produkt von drei oder mehr Funktionen ist. Sehen wir uns beispielsweise diese Funktion an:

Produkt dreier Funktionen

Im ersten Schritt setzen wir Klammen, um zu bestimmen, in welcher Reihenfolge wir die einzelnen Faktoren ableiten:

Produkt dreier Funktionen geklammert

Den ersten Faktor können wir direkt ableiten. Der zweite Faktor – das Produkt in der Klammer – leiten wir wieder über die Produktregel ab:

Einfache Anwendung der Produktregel

Jetzt erhalten wir insgesamt:

Mehrfachanwendung der Produktregel

Die Produktregel wenden wir in der ersten Termumformung an. In den weiteren Termumformungen vereinfachen wir die Formel nur noch.

Potenzen, Potenzgesetze und Potenzregeln

In Potenzen wird ausgedrückt, dass eine Zahl mehrere Male mit sich selbst multipliziert wird. Insbesondere Potenzfunktionen und Polynome spielen in der höheren Schulmathematik eine wichtige Rolle. Es hat daher fundamentale Bedeutung für Schüler, die Potenzregeln auswendig zu lernen und wie im Schlaf zu beherschen. Häufig werden Nullstellen von Polynomen gesucht. Die p-q-Formel und die sogenannte „Mitternachtsformel“ sind einfache Möglichkeiten, diese Nullstellen zu berechnen. Die Formeln werden auch in der fortgeschrittenen Mathematik der Oberstufe benötigt, wenn mit Hilfe von Ableitungen die ersten Optimierungsprobleme gelöst werden. Um Minima und Maxima einer Funktion zu finden, müssen nämlich regelmäßig die Nullstellen von Polynomen ermittelt werden. Damit das Rechnen mit Potenzen in den späteren Klassenstufen nicht zum Hindernis bei der Lösung von Aufgaben wird, sollten die Potenzregeln schon früh geübt und verinnerlicht werden.

Grundlegende Potenzregeln

Formel Bedeutung
Potenz mit dem Exponent 0 Potenz mit dem Exponent 0
Potenz mit dem Exponent 1 Potenz mit dem Exponent 1
Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem ihre Exponenten addiert werden.
Potenzierung von Potenzen Potenzierung von Potenzen: Potenzen werden potenziert, indem alle Exponenten miteinander multipliziert werden.
Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponent Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponent: Potenzen mit gleichem Exponent werden multipliziert, indem die Basen multipliziert werden.
Potenz mit negativem Exponenten Potenz mit negativem Exponenten
Division von Potenzen mit gleicher Basis Division von Potenzen mit gleicher Basis
Potenz deren Exponent das Inverse einer natürlichen Zahl ist Potenz deren Exponent das Inverse einer natürlichen Zahl ist
Potenz deren Exponent ein Bruch ist Potenz deren Exponent ein Bruch ist. (Achtung: wenn n gerade ist, muss a größer als 0 sein!)

Lösungregeln für Terme mit Potenzen

Formel Bedeutung
p,q-Formel p-q-Formel
Die a,b,c-Formel Die a,b,c-Formel, oder auch „Mitternachtsformel“

p-q-Formel – Herleitung und Erklärung

Mit p-q-Formel lassen sich quadratische Gleichungen der Form:

Allgemeine Form einer quadratischen Gleichung

leicht lösen. Die p-q-Formel besagt, dass es maximal zwei Lösungen für solche Gleichungen gibt, und zwar:

Die p-q-Formel in kompakter Form

Die Kombination aus Plus und Minus vor der Wurzel besagt dabei, dass die Wurzel für die eine Lösung addiert und für die andere Lösung subtrahiert werden muss. Ausgeschrieben lauten die beiden Lösungen der p-q-Formel also:

Ausführliche Form der p-q-Formel

Selbstverständlich gibt es auch für die p-q-Formel keine Ausnahme von der Regel, dass unter der Wurzel keine negative Zahl stehen darf (zumindest in der Menge der reelen Zahlen, mit denen Schüler üblicherweise rechnen). Wenn also unter der Wurzel ein negativer Wert entsteht, liefert die p-q-Formel kein Ergebnis. Die quadratische Gleichung hat in diesem Fall keine Lösung.

Beispiele für die p-q-Formel

In unserem ersten Beispiel sehen wir uns diese Formel an:

x^2 + 10 x + 9 = 0

In dieser Gleichung ist das gesuchte p gleich 10 und q ist gleich 9. Eingesetzt in die p-q-Formel ergibt das:

Wir erhalten also als Ergebnis, dass die Gleichung zwei Lösungen hat: -9 und -1.

Im nächsten Beispiel betrachten wir die Gleichung:

3x(x+2)-9 = 0

Diese Gleichung liegt nicht in einer Form vor, dass wir p und q direkt ablesen können. Wir müssen daher zuerst die Klammer ausmultiplizieren. Dadurch erhalten wir die Gleichung in dieser Form:

3x^2 + 6x - 9 = 0

Auch in dieser Form können wir p und q noch nicht direkt ablesen, da vor dem quadratischen Term noch ein Faktor steht. Wir müssen also entweder auf die a-b-c-Formel zurückgreifen oder die Gleichung um 3 kürzen. Da auf der rechten Seite 0 steht ist dies problemlos möglich, und wir erhalten:

Jetzt erhalten wir endlich p = 2 und q = -3. Einsetzen in die p-q-Formel ergibt:

In einem dritten Beispiel sehen wir uns diese Gleichung an:

Hieraus lesen wir p = 2 und q = 5 ab und setzen in die p-q-Formel ein:

An dieser Stelle brechen wir die Berechnung ab, weil unter der Wurzel ein negativer Wert steht. Im Bereich der reelen Zahlen gibt es für die Gleichung keine Lösung. Die quadratische Gleichung hat also keine Nullstelle.

Herleitung der p-q-Formel

Eine quadratische Gleichung in der Form:

Allgemeine quadratische Gleichung

lässt sich nicht so einfach nach x auflösen. Bei der Herleitung der p-q-Formel bedient man sich daher eines Tricks. Es ist nämlich einfach, eine quadratische Gleichung dieser Form nach x aufzulösen:

Eine quadratische Gleichung mit Hilfe der binomischen Formel auflösen

Im zweiten Schritt haben wir die erste binomische Formel angewandt, wodurch es leicht möglich war, x auf der linken Seite zu lassen und alles weitere auf die rechte Seite zu bringen.

Der Trick bei der p-q-Formel besteht nun darin, unsere quadratische Gleichung zuerst in eine Form zu bringen, die uns die Anwendung der ersten binomischen Formel erlaubt. Die Herleitung sieht< so aus:

Herleitung der p-q-Formel

Die binomische Formel haben wir hier im Übergang von der dritten zur vierten Gleichung genutzt. Auf diese Weise war die Herleitung der p-q-Formel einfach.

Logarithmus

Der Logarithmus ist eine mathematische Funktion, die zur Berechnung von exponentiellen und logarithmischen Funktionen verwendet wird. In diesem Blogbeitrag lernst du die Grundlagen des Logarithmus kennen und erfährst, wie man ihn berechnet.

Der Logarithmus gibt zu einer gegebenen Potenz bei einer gegebenen Basis den bisher unbekannten Exponenten wieder. Der Logarithmus erlangt insbesondere in der höheren Mathematik dadurch Bedeutung, dass in ihm Multiplikation und Addition zusammenfallen und mit seiner Hilfe die irrationale Zahl e, die Eulersche-Zahl, definiert wird.

Logarithmus

Formel Bedeutung
Definition des Logarithmus Definition des Logarithmus
Nullstelle aller Logarithmen Nullstelle aller Logarithmen
Addition von Logarithmen Addition von Logarithmen
Negation von Logarithmen Negation von Logarithmen
Subtraktion von Logarithmen Subtraktion von Logarithmen
Multiplikation eines Logarithmus Multiplikation eines Logarithmus mit einer natürlichen Zahl
Division von Logarithmen Division von Logarithmen

Spezielle Logarithmen

Formel Bedeutung
Definition der Eulersche Zahl Definition der Eulersche Zahl
Definition des natürlichen Logarithmus Natürlicher Logarithmus
Definition des dekadischen Logarithmus Dekadischer Logarithmus
Definition des binären Logarithmus Binärer Logarithmus

Zusammenfassung

Der Logarithmus ist ein wichtiges mathematisches Konzept, das in vielen Bereichen der Mathematik und Physik verwendet wird.

Der Logarithmus ist eine Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Wenn wir also die Exponentialfunktion mit dem Basis 10 auf die Zahl 100 anwenden, erhalten wir die Zahl 10. Dies bedeutet, dass der Logarithmus der Zahl 10 zur Basis 10 gleich 1 ist. Wir können diese Beziehung auch in einer Gleichung ausdrücken:

log10(100) = 1

In der gleichen Weise können wir auch den Logarithmus von anderen Zahlen berechnen. Zum Beispiel ist der Logarithmus von 1000 zur Basis 10 gleich 3, da 1000 = 10^3 ist. Wir können auch feststellen, dass der Logarithmus von 0,1 zur Basis 10 gleich -1 ist, da 0,1 = 10^-1 ist.

Die obige Gleichung kann auch so geschrieben werden:

log10(x) = y

Dies bedeutet, dass x die Zahl ist, zu der wir den Logarithmus nehmen wollen und y die Antwort ist. Es gibt auch andere Arten von Logarithmen, zum Beispiel den natürlichen Logarithmus (ln). Der natürliche Logarithmus hat die Eigenschaft, dass ln(e) = 1 ist, wo e die Eulersche Zahl ist (e ≈ 2,71828). Dies bedeutet, dass der natürliche Logarithmus einer beliebigen Zahl gleich dem Exponentiallogarithmus dieser Zahl mit der Basis e ist.

Die Definition des Logarithmus kann auch so formuliert werden: Wenn y = b^x (b > 0; b ≠ 1), dann nennt man logb(y) = x den logarithmischen Koeffizienten oder Exponent von y zur Basis b.

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Kettenregel – Erklärung und Anwendung

Die Kettenregel für Ableitungen besagt, wie verknüpfte Funktionen abgeleitet werden. Sie lautet:

Die Kettenregel

Verknüpfte Funktionen werden also abgeleitet, indem man zuerst die Ableitung der äußeren Funktion bildet, in diese Ableitung die innere Funktion unverändert einsetzt und anschließend das Ergebnis noch einmal mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert. In Kurzform kann man sich die Kettenregel merken als: „Innere Ableitung mal äußere Ableitung“.

Anwendungen und Beispiele für die Kettenregel

Sehen wir uns als ersten Beispiel diese Funktion an:

Erstes Beispiel für die Kettenregel: Ausgangsfunktion

In dieser Funktion sind zwei Funktionen verknüpft:

Erstes Beispiel für die Kettenregel: Verknüpfte Funktionen

Dabei ist f die äußere und g die innere Funktion. Um die Ableitung von h zu bilden, leiten wir zunächst f und g einzeln ab:

Erstes Beispiel für die Kettenregel: Ableitungen der beiden verknüpften Funktionen

Jetzt bilden wir die Ableitung von h, indem wir g in f’ einsetzen und das Ergebnis mit g’ multiplizieren:

Erstes Beispiel für die Kettenregel: Anwendung der Kettenregel

Als nächstes sehen wir uns diese Funktion an:

Zweites Beispiel für die Kettenregel: Abzuleitende Funktion

Wieder liegen hier zwei verknüpfte Funktionen vor. Es sind:

Zweites Beispiel für die Kettenregel: Die beiden verknüpften Funktionen

Und wir bilden zunächst wieder die Ableitungen dieser beiden Funktionen:

Zweites Beispiel für die Kettenregel: Ableitungen der verknüpften Funktionen

Einsetzen in die Kettenregel ergibt:

Zweites Beispiel für die Kettenregel: Anwendung der Kettenregel

Mehrfache Anwendung der Kettenregel

Wenn mehr als nur zwei Funktionen verkettet werden, ist es notwendig, die Kettenregel mehrfach anzuwenden. Wenn wir uns allerdings an Vorgehen halten, das oben gezeigt wird, ist das kein Problem. Betrachten wir als Beispiel den Ausdruck:

Komposition mehrerer Funktionen

Wir sehen uns zunächst an, aus welchen Funktionen dieser Ausdruck zusammengesetzt ist:

Mehrfach verknüpfte Funktionen - einzeln

Insgesamt gilt also:

Mehrfach verknüpfte Funktion - Schema

Um diesen Ausdruck abzuleiten, bilden wir als Erstes die Ableitungen der drei verknüpften Funktionen:

Ableitungen mehrfach verknüpfter Funktionen

Wir leiten den Ausdruck jetzt „von außen nach innen“ ab. Mit der Kettenregel gilt:

Mehrfache Anwendung der Kettenregel - Schema

In diese Gleichung setzen wir die verknüpften Funktionen und ihre Ableitungen ein:

Mehrfache Anwendung der Kettenregel - Beispiel