Eine Pyramide wirkt auf den ersten Blick recht einfach: unten eine Grundfläche, oben eine Spitze. Beim Rechnen steckt aber mehr dahinter, denn je nach gesuchter Größe brauchst du unterschiedliche Formeln. Besonders wichtig sind die Grundfläche, die Höhe, die Seitenhöhe, die Mantelfläche, die Oberfläche und das Volumen.
Mit dem folgenden Pyramiden-Rechner kannst du diese Werte bequem berechnen. Danach findest du die wichtigsten Formeln und Zusammenhänge übersichtlich erklärt.
Der Pyramiden-Rechner
Pyramiden-Rechner
Quadratische Pyramide: zwei Werte eintragen und alle übrigen Größen berechnen.
Der Online-Rechner berechnet die wichtigsten Größen einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Du kannst zum Beispiel die Seitenlänge der Grundfläche und die Höhe eingeben. Der Rechner bestimmt daraus automatisch weitere Werte wie Grundfläche, Seitenhöhe, Mantelfläche, Oberfläche und Volumen.
Du kannst aber auch andere bekannte Größen eintragen. Wichtig ist nur: Für eine eindeutige Berechnung müssen genügend passende Angaben vorhanden sein. Der Rechner prüft außerdem, ob die eingegebenen Werte sinnvoll zusammenpassen.
Einen weiteren Mathe-Rechner aus der Geometrie findest du hier: Kegel Rechner: Mantelfläche, Grundfläche und Volumen eines Kegels berechnen
Definition einer Pyramide
Eine Pyramide ist ein geometrischer Körper mit einer Grundfläche und einer Spitze. Die Seitenflächen sind Dreiecke, die von den Kanten der Grundfläche zur Spitze verlaufen. Je nachdem, welche Form die Grundfläche hat, spricht man zum Beispiel von einer dreieckigen, viereckigen oder quadratischen Pyramide.
In vielen Schulaufgaben und Online-Rechnern ist mit einer Pyramide häufig eine quadratische Pyramide gemeint. Das bedeutet: Die Grundfläche ist ein Quadrat. Alle vier Grundkanten sind also gleich lang.
Eine Pyramide heißt gerade, wenn die Spitze genau über dem Mittelpunkt der Grundfläche liegt. Dann steht die Höhe senkrecht auf der Grundfläche. Diese Annahme ist für viele Standardformeln wichtig, weil dadurch rechtwinklige Dreiecke im Inneren der Pyramide entstehen.
So funktioniert die Berechnung bei einer Pyramide
Die Berechnung einer quadratischen Pyramide baut auf wenigen Grundgrößen auf. Besonders wichtig sind die Seitenlänge der Grundfläche a und die senkrechte Höhe h. Sind diese beiden Werte bekannt, kannst du daraus fast alle anderen Größen ableiten.
Der Rechner berücksichtigt die wichtigsten Werte, die bei einer quadratischen Pyramide typischerweise gesucht werden. Dazu gehören Grundfläche, Diagonale, Seitenhöhe, Seitenkante, Mantelfläche, Oberfläche und Volumen.
Seitenlänge der Grundfläche a
Die Seitenlänge a ist die Länge einer Kante der quadratischen Grundfläche. Da die Grundfläche ein Quadrat ist, sind alle vier Seiten gleich lang.
Aus der Seitenlänge kannst du direkt die Grundfläche und die Diagonale der Grundfläche berechnen. Außerdem brauchst du a für die Mantelfläche, die Oberfläche und das Volumen.
Grundfläche G berechnen
Die Grundfläche einer quadratischen Pyramide ist ein Quadrat. Deshalb wird sie genauso berechnet wie jede andere quadratische Fläche:
G = a²
Dabei ist G die Grundfläche und a die Seitenlänge des Quadrats.
Beispiel: Wenn die Seitenlänge a = 6 cm beträgt, ist die Grundfläche:
G = 6² = 36 cm²
Höhe h der Pyramide
Die Höhe h ist der senkrechte Abstand zwischen der Spitze der Pyramide und der Grundfläche. Bei einer geraden quadratischen Pyramide endet diese Höhe genau im Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche.
Die Höhe ist besonders wichtig für das Volumen. Sie darf nicht mit der Seitenhöhe verwechselt werden. Die senkrechte Höhe verläuft im Inneren der Pyramide. Die Seitenhöhe liegt dagegen auf einer dreieckigen Seitenfläche.
Diagonale d der Grundfläche berechnen
Die Diagonale der quadratischen Grundfläche verläuft von einer Ecke des Quadrats zur gegenüberliegenden Ecke. Da die Grundfläche ein Quadrat ist, lässt sich die Diagonale mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
d = a · √2
Die halbe Diagonale spielt später eine Rolle, wenn du die Seitenkante der Pyramide berechnest.
Seitenhöhe hs berechnen
Die Seitenhöhe hs ist die Höhe einer dreieckigen Seitenfläche. Sie verläuft von der Spitze der Pyramide zur Mitte einer Grundkante.
Für die Berechnung entsteht ein rechtwinkliges Dreieck aus der senkrechten Höhe h, der halben Seitenlänge a/2 und der Seitenhöhe hs. Die Formel lautet:
hs = √(h² + (a/2)²)
Diese Größe brauchst du vor allem für die Mantelfläche, denn jede Seitenfläche ist ein Dreieck mit der Grundseite a und der Höhe hs.
Seitenkante e berechnen
Die Seitenkante e ist die Kante von der Spitze der Pyramide zu einer Ecke der Grundfläche. Manchmal wird sie auch als Seitenschräge bezeichnet. Sie ist nicht dasselbe wie die Seitenhöhe.
Für die Berechnung nutzt du die senkrechte Höhe h und die halbe Diagonale der Grundfläche. Daraus ergibt sich:
e = √(h² + (d/2)²)
Da bei einem Quadrat d = a · √2 gilt, kann man die Formel auch so schreiben:
e = √(h² + a²/2)
Mantelfläche M berechnen
Die Mantelfläche besteht aus den vier dreieckigen Seitenflächen der Pyramide. Bei einer geraden quadratischen Pyramide sind diese vier Dreiecke gleich groß.
Die Fläche eines einzelnen Seitendreiecks beträgt:
ADreieck = (a · hs) / 2
Da es vier Seitenflächen gibt, ergibt sich für die Mantelfläche:
M = 4 · (a · hs) / 2
Vereinfacht lautet die Formel:
M = 2 · a · hs
Oberfläche O berechnen
Die Oberfläche einer Pyramide setzt sich aus der Grundfläche und der Mantelfläche zusammen. Bei einer quadratischen Pyramide gilt:
O = G + M
Da G = a² und M = 2 · a · hs ist, kannst du auch schreiben:
O = a² + 2 · a · hs
Die Oberfläche gibt also an, wie groß die gesamte Außenfläche der Pyramide ist.
Volumen V berechnen
Das Volumen beschreibt den Rauminhalt der Pyramide. Für jede Pyramide gilt grundsätzlich:
V = (G · h) / 3
Bei einer quadratischen Grundfläche wird daraus:
V = (a² · h) / 3
Der Faktor 1/3 ist typisch für Pyramiden. Eine Pyramide mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe hat nur ein Drittel des Volumens eines entsprechenden Prismas.
Satz des Pythagoras bei der Pyramide anwenden
Der Satz des Pythagoras ist bei der Pyramide besonders wichtig, weil in einer geraden Pyramide mehrere rechtwinklige Dreiecke entstehen. Genau diese Dreiecke helfen dir, fehlende Längen zu berechnen.
Der Satz des Pythagoras lautet:
c² = a² + b²
Er gilt in rechtwinkligen Dreiecken. Die längste Seite c ist die Hypotenuse. Die beiden kürzeren Seiten a und b schließen den rechten Winkel ein.
Mehr dazu findest du hier: Pythagoras Rechner: Rechtwinkliges Dreieck (Anleitung + Online-Rechner)
Bei der quadratischen Pyramide wird der Satz des Pythagoras vor allem an zwei Stellen verwendet:
1. Seitenhöhe berechnen
Wenn du die Seitenhöhe hs bestimmen möchtest, betrachtest du ein rechtwinkliges Dreieck aus:
h = senkrechte Höhe der Pyramide
a/2 = halbe Seitenlänge der Grundfläche
hs = Seitenhöhe der Dreiecksfläche
Die Formel lautet:
hs² = h² + (a/2)²
Also:
hs = √(h² + (a/2)²)
2. Seitenkante berechnen
Wenn du die Seitenkante e berechnen möchtest, brauchst du ein anderes rechtwinkliges Dreieck. Es besteht aus:
h = senkrechte Höhe der Pyramide
d/2 = halbe Diagonale der Grundfläche
e = Seitenkante von der Spitze zur Ecke
Die Formel lautet:
e² = h² + (d/2)²
Also:
e = √(h² + (d/2)²)
Da die Grundfläche ein Quadrat ist, kannst du die Diagonale über d = a · √2 berechnen.
Sonderfall: Pyramidenstumpf
Ein Pyramidenstumpf entsteht, wenn eine Pyramide parallel zur Grundfläche abgeschnitten wird. Die Spitze fehlt dann. Statt einer Spitze hat der Körper oben eine kleinere Deckfläche und unten eine größere Grundfläche.
Ein typisches Beispiel ist ein Körper mit zwei quadratischen Flächen: unten ein großes Quadrat, oben ein kleineres Quadrat, verbunden durch vier trapezförmige Seitenflächen.
Die Berechnung eines Pyramidenstumpfs unterscheidet sich deutlich von der Berechnung einer vollständigen Pyramide. Du brauchst andere Formeln, weil es nicht mehr nur eine Grundfläche und eine Spitze gibt, sondern eine Grundfläche, eine Deckfläche und eine Mantelfläche aus Trapezen.
Für diesen Sonderfall stellen wir einen gesonderten Pyramidenstumpf-Rechner bereit. Damit kannst du die Werte eines Pyramidenstumpfs gezielter berechnen, ohne die Formeln der vollständigen Pyramide umstellen zu müssen.