Ein Trapez ist mehr als nur ein „schiefes“ Viereck. Zwei Seiten sind parallel, die anderen beiden verbinden sie und können unterschiedlich lang sein. Mit ein paar übersichtlichen Formeln lässt sich jede gesuchte Größe schnell ermitteln. In diesem Artikel erfährst du, wie du die wichtigen Maße eines Trapez bestimmst und wie der interaktive Rechner dir dabei hilft.
Der Trapez‑Rechner
Der Online‑Rechner weiter unten nimmt dir das Rechnen ab. Du gibst die dir bekannten Längen und Winkel ein, wählst den passenden Rechenweg und erhältst sofort Flächeninhalt, Umfang, Höhen, Mittellinie, Diagonalen und Winkel. So kannst du deine Ergebnisse prüfen oder Aufgaben kontrollieren.
Trapez-Rechner
Berechne wichtige Größen eines Trapezes übersichtlich an einem Ort: Seiten, Höhe, Winkel, Diagonalen, Fläche, Umfang und Mittellinie. Die Eingabewege sind bewusst praxisnah formuliert und etwas anders aufgebaut als bei üblichen Standard-Rechnern.
1) Passenden Rechenweg wählen
2) Werte eingeben
Skizze und Ergebnisbild
Verwendete Grundformeln
- Fläche: A = ((a + c) / 2) · h
- Umfang: U = a + b + c + d
- Mittellinie: m = (a + c) / 2
- Winkelbeziehungen: Alpha (α) + Delta (δ) = 180°, Beta (β) + Gamma (γ) = 180°
Natürlich ersetzt der Rechner nicht das Verständnis der Zusammenhänge – er unterstützt dich dabei, korrekt zu arbeiten.
Ein weiterer, hilfreicher Mathe-Rechner ist übrigens hier zu finden: Steigung berechnen: Steigungswinkel und Prozent (mit Online-Rechner)
Alle wichtigen Größen im Trapez
Damit die Formeln Sinn ergeben, müssen die Bezeichnungen klar sein. Ein Trapez besteht aus vier Punkten und mehreren Seiten, deren Namen dir das Arbeiten erleichtern.
Die 4 Eckpunkte A, B, C und D
Ein Trapez hat vier Eckpunkte, die meistens im Uhrzeigersinn mit A, B, C und D benannt werden. Die Punkte A und B begrenzen eine Grundseite, C und D die andere. Zwischen diesen Ecken liegen die Schenkel.
Die parallelen Grundseiten a und c
Die beiden gegenüberliegenden und parallelen Seiten eines Trapez heißen a (unten) und c (oben). Sie müssen nicht gleich lang sein. Je größer der Unterschied ihrer Längen ist, desto stärker „schräg“ verlaufen die Schenkel. Die Länge der Mittellinie sowie der Flächeninhalt hängen direkt von den Grundseiten ab.
Die Trapez‑Schenkel b und d
Die Schenkel b und d verbinden die Enden der Grundseiten. Sie sind in der Regel nicht parallel und können ganz unterschiedliche Längen haben. Ihre Größe beeinflusst, wie hoch das Trapez ist. In einem gleichschenkligen Trapez sind die Schenkel b und d gleich lang.
Die Trapezwinkel
Jedes Trapez hat vier Innenwinkel, traditionell mit den griechischen Buchstaben α (Alpha), β (Beta), γ (Gamma) und δ (Delta) bezeichnet. α und δ befinden sich an der unteren Grundseite a, β und γ an der oberen Grundseite c. Weil a und c parallel sind, ergänzen sich die angrenzenden Winkel zu 180 Grad: Wenn du α kennst, kannst du δ berechnen, indem du 180° − α rechnest – und umgekehrt. Ebenso gilt für β und γ.
Die Diagonalen e und f
Die Diagonalen e und f verbinden gegenüberliegende Eckpunkte: e verläuft von A nach C, f von D nach B. Sie schneiden sich im Punkt S. In einem gleichschenkligen Trapez sind e und f gleich lang. Die Diagonalen teilen einander im gleichen Verhältnis wie die Grundseiten: die Abschnitte an der unteren Grundseite verhalten sich zueinander wie a und c.
Die Höhe h
Die Höhe h ist der senkrechte Abstand zwischen den parallelen Grundseiten. Sie bestimmt, wie „hoch“ das Trapez ist, und geht direkt in die Flächenberechnung ein. Kennst du die Schenkellängen und den Unterschied der Grundseiten, lässt sich h mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
Die Mittellinie m
Die Mittellinie m verbindet die Mittelpunkte der Schenkel. Ihre Länge ist der Durchschnitt der Grundseiten und kann einfach berechnet werden.
Sonderfälle: Gleichschenkliges, symmetrisches Trapez sowie rechtwinkliges Trapez
Manche Trapeze haben besondere Eigenschaften, die die Rechnungen vereinfachen. Ein gleichschenkliges Trapez hat zwei gleich lange Schenkel b und d. Dadurch sind die beiden Basiswinkel gleich groß (α = β und γ = δ), und die Diagonalen sind gleich lang. Ein solches Trapez ist symmetrisch zur Senkrechten durch die Mittellinie.
Spricht man von einem symmetrischen Trapez, meint man in der Regel ebenfalls ein gleichschenkliges Trapez: Die Figur lässt sich durch eine Spiegelung an der Mittellinie auf sich selbst abbilden.
Ein rechtwinkliges Trapez besitzt einen rechten Winkel an einem der Schenkel. In diesem Fall steht einer der Schenkel senkrecht auf den Grundseiten. Viele Berechnungen werden dadurch einfacher, weil die Höhe h direkt der Länge des senkrechten Schenkels entspricht.
Flächeninhalt beim Trapez berechnen
Der Flächeninhalt eines Trapez lässt sich aus den beiden Grundseiten und der Höhe bestimmen. Statt jeweils nur eine Grundseite wie beim Rechteck zu verwenden, bildet man den Durchschnitt der beiden parallelen Seiten.
Bei gegebenen Grundseiten und Höhe multiplizierst du zuerst a und c, teilst die Summe durch 2 und anschließend mit der Höhe. Der Rechner übernimmt diese Schritte automatisch.
Umfang beim Trapez berechnen
Der Umfang U eines Trapez ist die Summe aller Seitenlängen. Hier gibt es keine Abkürzung: Du addierst die beiden Grundseiten und die beiden Schenkel.
Diese Formel gilt für jedes Trapez – egal ob schief, gleichschenklig oder rechtwinklig.
Weitere Berechnungen beim Trapez
Neben Flächeninhalt und Umfang gibt es noch weitere Größen, die du aus den bekannten Maßen ableiten kannst. Hier eine Auswahl:
Höhe im Trapez berechnen
Hast du die Schenkel b und d und den Unterschied der Grundseiten zur Hand, kannst du die Höhe h mit dem Satz des Pythagoras bestimmen. Für ein allgemeines Trapez berechnest du zunächst den horizontalen Anteil x eines Schenkels:
x = (b² − d² + (a − c)²) / (2 · (a − c))
Mit diesem Wert folgt die Höhe aus h = √(b² − x²). Im gleichschenkligen Fall vereinfacht sich das zu h = √(b² − ((a − c)/2)²). Der Rechner führt diese Schritte im Hintergrund aus.
Längen der Diagonalen
Die Diagonalen e und f lassen sich mit dem Kosinus‑Satz berechnen, wenn du die Schenkellängen und einen Winkel kennst. Es existieren auch Formeln, die nur die Seitenlängen verwenden. In einem gleichschenkligen Trapez gilt zum Beispiel e = f = √(b² + d² − 2 · b · d · cos(γ)), wobei γ einer der oberen Winkel ist. Die genaue Herleitung führt hier zu weit; der Rechner nimmt dir die Arbeit ab.
Berechnungen mit den Innenwinkeln
Wenn du einen der vier Innenwinkel kennst, erhältst du die übrigen Winkel durch Ausnutzen der Supplementwinkel. In einem rechtwinkligen Trapez ist einer der Winkel 90°, die benachbarten Winkel ergeben sich durch Subtraktion. In einem gleichschenkligen Trapez sind die Basiswinkel α und β identisch, ebenso γ und δ. Vergiss nicht, dass die Summe aller vier Innenwinkel immer 360° beträgt.